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视频 介绍

函数的单调性(2)应用(5)

本节课主要介绍了分段函数的单调性判断方法

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我是朱勇老师,咱们前几节课,在一起研究了单调性的概念,那么,今天我们系一起继续来研究单调性。

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今天研究单调性一个重要的性质,那就是我们给出来的函数的最值问题。

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一般的时候,函数Y等于FX,它的定义域为I,如果存在实数M,注意是存在着实数M,满足以下两个条件,第一对于任意的X属于I,都有FX小于等于M,或者是FX大于等于M,注意是小于等于M,或者是,这是另外一种情形,存在X0属于I,使得FX0等于M,那么我们则称M是函数。

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Y等于FX的最大吃,或者是最小吃。

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这里边需要同学们考虑,有一个问题,就是这一个叫都有,注意,是对于任意的X属于I,都有FX小于等于M,意味着什么?意味着,我们定义域内的每一个自变量,对应的函数值,这是小于等于M,它其实要说明每一个自变量,都不比M怎么样。

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而且,你就会发现我们第二个条件,是存在着这样一个,S0,在定义域内,注意,这个就是X0对应的函数值,就是M,我们就称这个M是最大值。

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我们两个放在一起,其实要说明什么,X0对应的函数值,比其他的都怎么样,叫不小,我们则称这个函数值,这个函数值,就是我们函数FX的最大值。

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同样如果这个最小值,最小值,注意,我们刚才给出这样一个说明,这其实上,就是我们后边去判断最大值和最小值的方法。

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注意,一定要是定义域内的每一个,都满足这个条件,才有这样一个最值的定义。

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好,这是这样一个问题,那么,我们来看一个具体的问题。

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如图,某地要修建一个圆形的水池,在这里,水流在各个方向上,以相同的抛物线路径落下来,坐下,那么,以水池的中药为坐标,原点水平,方向为X轴,竖直方向为Y轴,建立平面直角坐标系,那么水喷出水喷的时候,它不是从这往上喷的,从这位置那么喷出来的高度,从这喷了之后,然后怎么样,往两边,来,喷出来。

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然后你会发现一个问题,这里边我们水流喷出来的高度,H与水平的距离,距离就是X所乘的关系,是就H等于这个时候,这个式子就是二次是,X属于0到52。

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也就意味着,我们的宽度就是从中心开始到池边,应该是最多是52米,现在,让我们求一下水流喷出的高度的最大值。

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同学们注意,喷的时候同他以二次函数的形式,那么从这里,你可以看到最大值,好像出现在这个位置上,这个位置高度,而且我要想求的话,那么怎么求呢?既然是一个具体的函数,咱们就来看一下,零到这一段的时候,它是一个单调递增的,从一开始往下单调递减,从解析式当中能看得很清楚,对称轴就是一。

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对,那么现在你会发现,我们通过这个,可以知道我们的最高点,应该在这个位置,这就是喷出来的最高的水,的高度。

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那么,就是把我们的X等于一带到我们的解析式,当中去求这样一个值就可以了,那么这样一分析出来之后,你会发现还是比较容易求得。

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好,这是一个问题,来再来看一个,说函数FX等于X加一的绝对值,再加上X减一的绝对值,第一个,不是让我们求它的最值,我们要求它的不画出它的图像。

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同学们注意,要想画这个图像,我们要把绝对值去掉,去掉的过程当中X加一和X减一,正取零,然后,把我们的整个的实数,分成我们的一段一段的来处理,我们还是比较容易处理的。

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好,它的图像,同学们知道应该是这一个,。

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好,那么现在从图像当中,我们要看一下函数的最小值,做完图像之后,我们的最值其实上是很清楚的,就是在这,对吧。

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那么,这里边也就告诉我们,我们如果能够给出函数的图像,我们找最值其实很清楚。

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另外,同学们注意。

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你看看这一个函数,它其实是一个分段函数,那么我们想一下,如果不给你这个图像,我能不能由分段函数,求出这个函数的最值呢。

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这是我们可以去思考的,好,这是这样一个问题。

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那么同学们通过刚才两个小例题,我们都可以去处理,在除像能够明确的情况下,我们的函数的最值,一个最大值,一个最小值,那么如果我们不借助于图像,你能研究具体的函数的最值吗?来看一个问题,函数Y等于负X加一,在区间二分之一到二上的最大值是谁。

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同学们注意,这个函数你清楚吧,非常清楚,什么函数?对了,就是我们常见的一次函数,当前面的系数是负号的时候,那么,你会发现单调递减函数。

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那么,由此我们的最大值应该在何处,去12处,所以,最终我们求出函数的最值来就是12,12。

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那么通过刚才我们给出这些问题,同学们注意,我们日常所见到的函数,我们有的时候可以对于它最值得研究,可以通过图像,也可以通过解析式,那么他各有自己的优点。

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但是这一个同学们会发现,对于我们函数的单调性,要求非常清楚,非常的清晰,才行,那么我们对于这个要求的应用,我们后面还会去说明。

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那么同学们,今天我们所研究的问题,就是最值的概念,那么它要求的是我们最值,它应该是在我们的所有的函数值当中,最大的或者是最小的,分别称为最大值和最小值。

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好,那么至于具体的函数的最大值,最小值的求法,咱们下节课还一起来研究,好,同学们,今天我们就上到这,欢迎收看其他的课程。

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好,同学们,再见。<br />

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