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视频 介绍

函数的概念(5)值域(1)

本节课主要介绍了值域是函数值的集合

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同学们好,欢迎来到十分钟学校,我是朱英老师.

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在前几节课我们在一起研究了函数的基本问题,那么研究了函数的基本概念,研究了函数的表示法,又研究了我们函数的图像,那么我们今天继续来研究函数的值域问题.

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那么对于函数的值域,我们首先要注意它什么是函数的值域,在我们函数的定义当中,我们的函数执纪每一个自变量X所对应的函数值,我们如果把它放在一起构成一个集合,那么你就能够得到一个值的集合.

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我们将这样一个集合称为叫函数的值域,那么在这里边,我们知道函数的值域就是要将函数值全部要找全放到一个集合中,我们的集合可以用集合,也可以用区间来进行表示出来就可以了.

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那么我们具体的问题我们来看,求函数Y等于X的平方加上二,XX属于0到3的时候,我们的函数的值域,那么我们对于这样一个函数,同学们知道,X咱不看定义域,X属于0到3,那么我们只看Y等于X方加X你就可以知道,在这里边其实它是一个非常熟悉的函数,二次函数.

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只不过我的X属于0到3的时候,注意是闭区间,你就可以知道我们的函数,定义域的改变也导致这整个函数的改变,那么此时我们看一下我们的函数,它表现在我们的图像上,是什么情况.

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同学们注意,我的二次函数要做这个图其实是非常容易的,我相信同学们,对吧.

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那么现在你来看,我们很容易地做出来函数的图像,那么在这个里边做出来了函数的图像以后,同学们注意,我们很容易知道对称轴是1,1而且你会发现我的X属于0到3,就是函数图像上的一段,从这个位置,这个位置到这个位置.

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看,那么我们的图像就是中间这样一段,那么你从这个图像上就很容易的去看到我们函数的值域是什么.

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这是最小的,这是最大的.

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最小的是多少,此时你会发现零多少三代进去求就行了,对吧.

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那么我们来一起看一下,那么此时你注意他这边是大于等于0,这边是把三带到解析式当中,求出值是15.

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那么我们就能够知道有这样一个方式,我们求出来给出来的函数图像,那么它的在即定区间内的函数的值域,同学们注意.

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这个作图还是很关键,另外做完图之后,它是建立在做了二次函数的图像的基础上,另外你会发现X属于0到3,其实要告诉我们,图像就那么一段.

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那么我们在这就可以很容易的知道,最小最大我们的值域就是0到15,闭区间,那么在这里边我想说一下,同学们注意X属于0到3,你告诉我这个函数的内衬轴是多少.

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对,是负一1,在这你会发现1在不在我们给D区间内不再不在的时候,我们就可以做.

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这一段函数最小最大,很清楚,那么如果我要给你一个不同的又该如何来解决,函数Y等于X的平方不是加X了减加不是加X而是减2X,仍然是X属于0到3,问你它的值域又是什么呢,那么我们照样也可以这样进行处理.

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但是同学们注意,我们在处理的过程当中,我们想先把它的函数图像画出来,那么同学们来看.

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X轴,Y轴,那么现在你会发现X的平方减2X,同学们注意,我们的函数图像经过的有两个非常重要的点.

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好,这就是我们的函数,那么你会发现对称轴此时在这儿我们在这里边给出来的,0到3的这个是零,这是零,那么这个是多少,三三在这,同学们注意,你看这我们给出来的函数图像就应该是中间这么一段,同学们从里边就能够看出来我们的函数的值域及包含了最低点,然后到这儿为止.

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那么同学们注意,你可以计算这个是多少吗,你可以计算这个是多少吗,其实上你是很容易计算的.

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你看,在这个里边你注意到对称轴,就是我们的X等于1,它对应的函数值是1,而我们注意一个问题.

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零和三三对应的函数值在这里,零在这很显然他是大,所以我们的值域是1到3,那么同学们现在想一下,这个问题和刚才的利益有什么不同.

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它的不同点同学们很明确,就是我们给出来的0到3这个区间,把我们的函数的对称轴,刚才那个里边没有包含在内,你直接找函数的最大值和最小值就行,但是当我们的区间包含了对称轴的时候,我们就要考虑对称轴,到底取最大的还是最小的,另外我们的取得是最小的,但是零和三谁对应的是最大值,我们还要去考虑,由于二次函数的对称性可值,同学们注意,对称轴是一,0到1的距离是一,3到1的距离是二,所以三对应的函数值应该是最大,对吧.

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我们以后即使不去画这个图像,我们照样可以用它来进行解决问题及包含对称轴的区间和不包含对称轴的区间,我们考虑的东西是遇有差别的.

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好像这样的问题,同学们注意,另外通过刚才两个小问题,同学们要注意一个问题,二次函数如果定义域给出来,在一定区间内,你一定要认真去分析,到底给出的区间包含不包含我们的对称轴包含是一种情况,不包含又是一种情况.

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好,这是我们给出来的这样一个问题.

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好,下面同学们来看这样一个问题,函数Y等于X减21的定义域是1的负无穷到一,再并上2到5椎,这个是B区线,则问你值域是什么,那么求这样一个函数的值域,这个值域怎么求也是一个具体的函数,定义域也给了,那么同学们注意在这里边给了两段,我们就可以在这两段当中分别去求,同学们注意,你想X是负无穷到一的时候,我X减一的取值范围是什么呢,然后进一步去考虑分之二的取值范围.

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好,一步一屈的去处理,同样X大于零二小于五的时候,我照样先求X减一的取值范围,再分之二的取值范围.

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那么我们就可以很容易地将我们的整个的函数的值域求了出来,分别处理.

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注意,看着X减一的范围,一个一个是这一个,另外这个的取值范围,然后再来个分之一,你会发现就是负无穷到零,然后这一个的取值范围翻过来,倒过来之后,就是12的二,但是该取的时候要写成B缺点.

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由此在这里边告诉我们,如果给定了函数的定义域,那么我们可以分别去求我们的X减一的范围,进一步再求它的分之二的取值范围就可以了.

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好,那么在这里边,我们对具体的函数的值域,应该说我们在求的时候用图像也好,用分布分区间去处理也好,都是可行的.

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那么我们今天所研究的就是在知道了函数的定义域的情况下,求函数的值域问题.

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好,同学们,今天我们主要研究了二次函数,以及简单的分式函数的它的值域的求法,那么对于二次函数,我特别提醒同学们,一定引起同学们的注意,对于这样一个问题,我们后边时不时的会有这方面的问题出现.

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好,同学们,今天我们就上到这,下节课再见.<br />

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