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视频 介绍

函数的单调性与最值3

本节课主要介绍了函数单调性的简单应用 .

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同学们好,欢迎来到惋惜十分钟学校,在前面我们一起研究了函数的单调性及其它的应用,那么我们今天继续来一起研究这部分问题。

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好,同学们来看,那么我们知道函数的单调性,它在我们的应用过程当中是非常重要的,但是同学们一定要注意牢牢的抓住函数单调性的定义,以及我们的函数单调性,它几种问题的解决方式。

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那么我们来看这样一个问题,说已知函数,FX它的图像关于直线X等于1对称,当X二大于X一大于一时,由FX2减去FX1乘以X2减X1小于零恒成立。

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我们设A等于F12,B等于F2,C等于F1,则abc的大小关系是什么?那么在这个里边我们想确定这三个数abc,我们知道它都是具体的函数值,那么我们想要处理一个函数的函数值的大小,那么我们完全可以根据函数的单调性处理,那么我们知道F12和F2和1F1,那么你想一想,我们刚开始是不知道这个函数它的单调性,那么我们就要去分析我们的函数,再看看它的图像关于X等于1对称,说明什么,说明这个函数X等于1的左侧和右侧它具有对称的单调性。

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对吧,我们来看当X二大于X一大于一的时候,你会发现有这样一个条件,同学们注意,这个条件是恒成立,意味着什么,你会发现意味着什么,同学们知道它意味着自变量的差和函数值的差是相反的,单调性相反的符号,那就意味着什么,我们的整个函数在这个条件下就是一个单调递减函数,对吧,那么同学们马上就可以知道,一到正无穷的时候是个单调递减F那么你想一想,一到正无穷上是单调递减的,图像又关于X等于1对称,此时我们就知道负无穷到一的时候就是单调递增函数,但是在这个里边我们可以去考虑将我们的F2分12,F2和F1同时放到一的一侧,有两个都在右侧,对吧,我们也可以把F12给它放到右侧去怎么办呢,那么我们可以知道F12它可以等于,注意关于E对称的时候就可以了,是F52,那么我们下面只要比较52和一和二以及一的大小就可以了,对吧,那么马上我们就知道是小于52小于一的,所以我们的函数值是F二大于F52大于F1的,是吧,我们就判断出来了我们的函数值abc的大小。

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在这里边同学们注意,我们是给了一个条件,然后这个条件它说明我们的函数在一到周琼这样一个区间上,它到底是一个什么样的单调性,那么这个性质我们一定要去考虑。好,同学们注意,这地方是诚的,我要改成除我这地方改成大于号,对吧,都是我们给出来的常用的结果,好,这是这样一个问题。

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那么同学们再来看,函数FX是定义在零到正无穷上的单调递增,函数满足FXY等于FX加FY且F3等于1,则当MX加上FX减八小于等于2的时候,问一下X取值范围,同学们注意,在这个里边你会发现我的函数并不是一个具体的函数,但是我们还想解这样一个不等式怎么办呢,我们就要充分的去利用我们这一条性质,同学们会发现,看看这条性质,它自变量是乘法,这个是加法,那么我们看一下这个地方是加法,那么我们就可以把它改成I城的,然后我们去处理,你会发现在这种情况下,我们这个二怎么办,对,由F3能不能来去表示这个二,对了,如果一二用某一个函数值表示完了之后,同学们注意这个还有一个条件,函数是一个单调函数,我们可以用单调函数的性质去判断出来我们函数值确定大小的时候,自变量的大小问题,对吧,我们就把F给它怎么样,脱掉了,那么对于这样的问题,希望我们能够从我们的条件出发,我们知道F三等于1的情况下,注意,二等于1加一是吧,由此他就是F9,而我们的FX加上FX减八,小于等于2,就是FX乘以X减八小于等于F9G我们知道函数的单调递增,函数X乘以X减八就怎么样,小于等于9,但是在这里边希望同学们注意,我们函数有一个定义域,所以我们在这里边无形当中,对于我们不等式当中的X和X减八,都要给他一个条件,这两个一个都不能少,最终我们求出来X取值范围大于八小于等于9,在这里边我们通过应用函数的单调性,把外边的F给它脱掉,把X和它的因式所具有的大小关系给它分离出来,那么在这里边同学们注意,对于这样一个性质,同学们注意把这里边的加法改到这里边的乘法,还是需要我们去思考的。

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对吧,好,同学们再来看这样一个问题,如果函数FX等于负的X方加上2X2AX与GX等于A比上X加一在区间1到2上都是减函数,则模拟A的取值范围,那么在这我们可以知道,1到2上是递减函数,同学们就可以看到A影响了FX的怎么样唉对称轴,我们就把一和二放到它的单调递减区间当中去就可以了,同样的我们的系X我们先去判断X加一分之A它到底是一个什么样的单调性,对吧,那么此时我们分别来处理就可以了,我们知道在这我们能够知道,对称轴正好就是A此时1到2上为减函数的时候,需要的是对称轴,小于等于1,而我们的GX它是一个反比例型的函数,那么在这就可以知道,我们求一个倒数,求了岛之后,你会发现,我们要是GX在1到2上是减函数,我们需要的是导函数怎么样,小于零,由此我们得负A小于零就可以了,我们知道在这我们要求的是A大于零,两个要同时成立才可以,对吧,那么此时综合这可知A是大于零小于等于1的是吧,那么我们在这里面想说的问题,分别处理他和他的时候,你可以知道可以知道函数A对于两个函数的单调性的影响,影响。

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是吧,另外有一个问题,我在这里边想提一下,同学们去思考我们对于这一个函数,它是一个反比例型的函数,你会发现我这儿采用的是求导数的方式,判断单调性,那么你想一下,可否利用图像来处理,对吧,我们可以用图像来处理,对吧,你自己来试一下。

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好,那么我们通过刚才的三个问题,既单调性的应用,我们去看一下我们的单调性,在解决最值得问题的时候,他需要注意些什么,那么同学们来看,我们利用单调性去比较大小,它的思路是什么,我们在求解含有F的这样的函数的不等式的时候,又解,采用什么方式,注意这个地方是想办法把我们的F给它拖掉,拿掉的时候我们要利用单调性,对吧。

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另外在这里边我想再强调一点,无论你在哪一种情况下处理,GX和HX这些都是函数,都要在FX的定义域内才可以,希望引起同学们的重视,另外在这里还想提一下含有参数的雨单调性有关的问题,你可以利用函数的图像,它的升降程度来去判断一下满足的不等式,还可以用求导的方式来进行转化,都是可以的,都是可以的,这些问题我们在后面陆续的都会遇到。

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好,同学们,今天我们对于函数单调性的应用作了说明一起研究了,那么同学们这一块希望同学们引起足够的重视。

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好,同学们再见。

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