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视频 介绍

数学归纳法在归纳猜测中的应用

本节课主要介绍了数学归纳法的相关知识,以及在归纳猜测中的相关应用。通过例题讲解有利于学生对数学归纳法的理解和把握。

涛 孙

教师 合肥七中中学一级数学教师,市综合素质大赛二等奖。

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各位同学大家好,欢迎来到皖新十分钟学校,我是孙涛老师。

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今天我们来一起学习数学归纳法在归纳猜测中,的相关应用,问题。

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如何应用数学归纳法解题,第一数学归纳法使用于,证明一个与正整数N,有关的命题,这是它的使用范围,数学归纳法解题相关步骤,第一步证明当N等于N0时,命题成立,这里的N0就是命题成立的起始自然数,这叫归纳点击。

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第二,假设当N等于K时命题成立,证明N等于K加一时命题也成立,这叫归纳的,递推,又一二,可知命题对一切N大于等于N0的自然数都,成立,这就是数学归纳法,解题步骤,那么请看例题第一,已知数列ANAE等于12,SN等于N方乘以AN求A2A3S的值,那么各位同学请看,在这里当N为20,我们带入上市,就得到了S2等于4倍的A22S2,就是前两,项和,也就是I1加I2,从而算出A2是16,同样的道理,当N为30带入,S3就等于9倍的A3,S3就是I1加I2加I3等于9倍,A3算出A3是112,同理可得S为120,那么各位同学,这是第一小问,在这里我们可否来猜测一下,AN的通项公式,请看,A1是12,A2是16,可以写成2×13,A3是1212,可以写成3×14,S4是120可以写成4×15,所以我们就猜测,AN它等于N乘以N加一,分之一,这是我们的猜测,那么看一下是否满足前面,A11直到SN等于1时是满足的,2N等于2,N等于3,N等于4,它都满足,所以我们这种猜测,是在这种基础之上来猜的,是否适用于一切,第二小问,刚才我们已经猜测出了AIN的通项公式,那么猜测不代表证明,所以我们要加以佐证,请看,N等于N乘N加11,这是我们猜测的,要想证明这个式子成立,我们就用数学归纳法来尝试,第一当N等于1时,A是12,这里N等于1,带进去也是12,结论成立的,第二假设N等于K时命题实例,也就说IK等于K乘K加11,GSK等于K平方乘以AKSK,等于K平方乘,以AK整理的结果就是K除以K加一,那么N等于K加一时,N等于K加一时就有,sk加一等于K加1的平方,乘以AK加一,前K加一项和它,等于前K项和加上DK加一项,所以在这个式子中,我们就可以将AK加一求,出来,所以AK加一就,等于sk除以K方加2Ksk,我们是知道的,是K除K加一将它带入这个式子,整理的结果就是K加二乘K加11,这是什么,这就是AK加一,我们要验证的就是N等于K加一时,我们的AK加一是否也满足这个式子,我们发现了,N等于K加一时X加一,它等于K加一乘K加12,满足这个式子,也就是说GN等于K加一时,我们的命题是成立的。

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寡对,一切的N属于正的自然数,AN他都等于N乘N加11,这样子就佐证了刚才的猜想,这就是数学归纳法在猜测中的一个应用,我们继续欣赏,第二,函数以函数为载体,FX等于2X除以X加二,X1等于1,XN等于F括号XN减1N,大于等于2,N属于正自然数,求X2X3X4,那么我们一起来看一下,X1等于1,XN它等于,FXN减一将他带入,就是二倍的XN减一,除以,XN减1+2,下面让我们求的是X2X3X4,将这里的N用R替代,从而算出X2等于23,将这里的N用三替代,就算出X3X四分别是,12,25,这样一来我们就知道,X1是一,X2是23,X3是12,我们再猜想12可不可以写成24,这是可以的,这样一来我们就可以猜出XN的通项公式,因为X1是一,一可以写成22,X2是23,X3是24,X4是25,分子都为二,分母都是N加一,所以XN我们猜出,是他那这种一样的道理,这种猜法对不对,我们请看猜测出XN的通项公式B,加以佐证,我们刚才猜除了XN等于N加21了,那么下面我们来证明用数学归纳法,当N等于1时左边,X就是吸,右边,把一带入1+21也是一,左右相等是成立的,我们假设N等于K时命题也成立,也就是说XK等于K加21,那么N等于K加一时,我们知道sk加一就等于FXK,也就是二倍的,XK除以XK加二,将XK带入,记住在证明N等于K加一时,一定要用到假设的结论,所以就得到了2×2除,K加一除以二除以K加一加,整理一下就得到了K加一,再加21,那么这样一来记N等于K加一时,我的命题是成立的。

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这样一来的话,就得到任意的N属于正自然数,我的XN他都等于N加21,从猜测到佐证,这就是一种思路,这叫归纳的思路,然后再加以证明,这样子得出来,XN就一定是对的,好的,这是例二。

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那么我们再继续深化,请看第三,是否存在常数,AB使得等式,对,一切正整数N都成立,首先是否存在,要想将存在就要找到,在这里讲的是对一切正整数N都成立,那么N等于1,N等于2,那也应该成立,所以请看例N等于1,N等于2,分别代入这个等式,我们就为N等于1,得到3A减B等于1,当N等于2代入上式,就能得到10A减三,B等于2,两式一联立就可以解出,A是1B是四,但是有的同学就会猜想说,你是N等于1,N等于2代入的,N等于3,N等于4带入,你这样带入求出来,AB可具有一般性,下面我们来证,我们算出A是1B是四了,我们代入上式,下面来证明这个式子1×13方加上3×25,方,一直加到22N减一乘N加一分之N方,等于4,N加二分之N方加N,我们来证明这个式子,对一切的政治数N都成立,如果我证明出来了,那就说明A就是1B,那么请看,用数学归纳法来证明,当N等于1时,上师是成立的,因为我们已经说明过,那么假设这是关键假设,N等于K时命题成立,我们将K代入上式就得到1×13方,一直加到2K减1×2K加一分之K方等于4,K加二分之K方加K,那么N等于K加一时,N等于K加一时带入左边,就能得到1×13方,一直加到,2K减1×2K加一分之K方,再加2K加1×,2K加三分之K加E方,那么它等于什么呢,那么请看前面这一块,从这里,E方除以一,亿方除以1×三,一直到K方除以2K减一乘以,2K加一,这一块我们在上面的假设中已经有了,就是K方加K除以4K加二,我们将其带入,那么再加上最后一项,K加1的平方除以2K加一乘以2K加三,我们对这两个式子进行通分,就得到了二倍的2K加1×2K加三分,之K加一乘2K加一乘K加二,进行约分约分就,能得到二倍的2K加三分之K加一乘K加二,那么我们将其化简一下,就得到了K加1的平方加上K加1÷4倍的K,加一再加二,那么这个式子,这得出来的右边这个式子就,相当于将N等于K加一代入这里是一样的,这说明什么,说明对,N等于K加一时,我这个命题也是对的,这个命题是对的,由第一部N等于1到第二部,N等于K推出了N等于K加一的结果,所以我们知道任意的N,属于正自然数,这个式子都对,这个式子都对说明了什么,说明了这里的A是1B是,各位同学,刚刚给大家介绍的是数学归纳法在,归纳猜测中的相关应用。

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