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视频 介绍

柯西不等式在求最值时的应用

本节课主要介绍了二维形式和一般形式的柯西不等式在解决最值时的应用,通过例题的讲解加深了学生对问题的理解.

涛 孙

教师 合肥七中中学一级数学教师,市综合素质大赛二等奖。

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各位同学大家好,欢迎来到皖新十分钟学校,我是孙涛老师.

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今天我们一起来学习柯西不等式,在求最值中的相关应用.

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首先请看柯西不等式知识概要,一,二维形式的柯西不等式,若ABCD都是实数,则A方加B方乘以C方加D方,大于等于括号AC加bd括号的平方.

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当且仅当A乘D等于B乘C时等号成立,在这里要注意细节.

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前面是平方和平方和的乘积,后面是A乘C加B乘D括号的平方,将二维推广,一般形式的柯西不等式,A1A21直到NB1B21直到bn都是实数则.

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AE方加A2方一直加到AN方乘以be方,加B2方一直加到BN方,它大于等于A1乘B1加A2乘B21,直加到an乘bn括号的平方.

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何时等号成立呢?

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当且仅当BI等于0时,或存在实数K,使得A等于KB的BI我们的等号就成立了.

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这里的A是1231,直到N其实下面这个就是二维的推广,那么有了这样知识的铺垫,那么请看他们在求最值中如何应用.

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请看第一题,已知Y等于3倍的根号X加1+4倍的根号一减X的最大值,那么要想求出最大值,我们就要向柯西不等式去靠,怎么靠.

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三倍的根号X加1+4倍的根号一一减X,我们可以把它是进行平方,平方.

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他就小于等于3的平方加4的平方,乘以根号X加1的平方,也就是X加一加上根号X减1的平方,也就是一减X,那么就得到了它的平方小于等于它俩相乘.

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这是25,后面是二,所以它的平方小于等于和时等号成立,当且仅当根号X加1÷3等于根号一减X除以40,我们的等号成立,所以我们的Y平方就等于50,Y最大值就是五倍根号五倍根号.

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那么在这里大家会发现了,要想又可惜不等式,其实是把这里的式子看成两组数字.

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一个是三四,一组是根号X加一根号一减X,然后向柯西不等式去靠,当然这事儿为柯西不等式,在求最值中的应用.

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那么下面我们继续去欣赏,请看这里.

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第二,已知正数,ABC求A加B加C乘以A分之四,加B分之九加C分之36的最小值,这就是三维了,推广了.

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那么这个该如何去应用,请看,要想用柯西不等式,就应该它俩相乘.

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可以把A看成某一个数的平方,谁根号AB看成是某一个数位就根号B的平方,所以请看这里.

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它俩相乘可以写成根号A方加根号B方加根号,C方乘以A分之四,可以看成根号A分之2的平方,根号B分之3的平方,根号C分之6的平方.

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它俩相乘,之所以这样书写.

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就是为了模拟或者凑柯西不等式的模式,平方和相加,乘以平方和,它大于等于根号A乘以根号A分之二,加根号B乘根号B分之三加根号C乘根号C分之六,括号的平方.

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这里的式子整理,就是2+3+6的平方也就是121.

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这样一来,你两相乘大于等于121,那么何时等号成立呢?

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当且仅当二除以A等于3除以B,等于6除以C时等号成立,也就是说此时它俩相乘的最小值为120席,所以大家会发现这虽然是三维,但其实跟二维相仿.

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为了让大家看的清楚,我在这里把跟A都写成了根号A方,B写成了根号B方为的就是在形式上满足可惜不等式.

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这是例二,那么下面我们再来欣赏一下D3,XYZ属于RX方Y方Z方等于相加等于5,则X加2Y加3Z的最大值,这也是三维.

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那么要想求X加2Y加3Z的最大值,我们可以这样来操作,可以看成两组数组.

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一组是X方Y方Z方一组是一方二方三方的关系,所以就有X加2Y加3Z的平方小于等于好.

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X方加Y方加Z方,乘以一方加二方加三方平方,平方和相乘大于等于X加2Y加3C括号的平方.

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这就是三为柯西不等式,这一边刚好是70,它的平方小于等于70,和十等号成立当且仅当X除以一,等于Y除以二,等于Z除以30,我们的等号成立.

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也就是说X加2Y加3Z的平方40,可以取到70.

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但是我们这里寻找的是X加2Y加3Z,它的最大值,所以它的最大值为根号70为根号.其实那么各位同学也发现了,这一题也是一个拼凑拼凑的条件或者是拼凑的,依据是柯西不等式的模式.

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各位同学,今天这节课主要给大家介绍了柯西不等式,二维三维在求最值中的相关应用.

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感谢各位同学收看婉欣十分钟学校,欢迎各位同学继续收看婉欣十分钟学校的其他课程资源.<br />

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