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视频 介绍

绝对值不等式的综合应用

本节课主要介绍了绝对值三角不等式,以及含一个或两个绝对值不等式的综合应用,尤其在求最值和恒成立思想中的应用.

涛 孙

教师 合肥七中中学一级数学教师,市综合素质大赛二等奖。

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各位同学大家好,欢迎来到皖新十分钟学校,我是孙涛老师.

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今天我们这节课将一起学习绝对值不等式的综合应用,举首先绝对值不等式的知识概要.

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第一如果AB是实数,则A加B的绝对值小于等于A的绝对值加B的绝对值,当且仅当A乘B大于等于0时等号成立,这叫绝对值三角不等式.

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一定要注意的是等号成立的条件,下面二就是一个问题,还有一个绝对值不等式该如何去记.

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一,不等式行如此形式,也就是绝对值AX加B小于等于C,和AAX加B大于等于C的这种形式,那么我们只需要令T等于X加B.那么这样一来就有绝对值,T小于等于C和绝对是T大于等于C.那么这是一个绝对值,然后求出来就可以了.

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解职即可,我们可以用换元思想去操作.

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那么两个绝对值不等式,形如X减A的绝对值加X减B的绝对值大于等于C和,X减A的绝对值加X减B的绝对值小于等于C.

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这种方式又该如何解呢?

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我们的关键是去绝对值,我们有两种思路.

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对,分段讨论法,我们的关键是要拒绝的值,所以我们以AB为分界点,然后将实数集区一分为三个区间.

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那么在每个区间上研究X减AX减B的郑宇峰,从而将绝对值一个去掉,这叫分段讨论法.

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第二种方法常规用的是图像法,我们可以把左边这一块当成一个函数,我们用函数图像来进行研究.

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从而来解决这种含两个绝对值的不等式,刚才只是理论基础,那么下面我们实战操作.

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已知函数FX等于绝对值X减AD,不等式FX小于等于3的解集为X小于等于5,大于等于1求A.第二,在一定的条件下,求FXFX加五大于等于M对一切实数X恒成立,求M的取值范围.

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那么请看第一题,因为FX小于等于3,所以就绝对值X减A小于三.

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那么就是解出来X就是一个绝对值解出来,X是小于等于A加三,大于等于A减三.

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那么FX小于等于3的解集就是X为代表元素,X小于等于A加三,大于等于A减三.

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而在题干中又说了,X是在1到5之间的,所以就能知道A减三是1,AA加C是五,从而解决出A是二,所以第一题仅仅是一个绝对值的简单应用.

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那么当A是20,我们来解决第二小题.

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此时FX就变成了XX减二的绝对值,计X是FX加FX加五,也就是等于X减二的绝对值加X加三的绝对值,M比它小,就M要小于他.

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对,一切的X都成立,那么M就应该比它的最小值小,为了书写的方便,我们令GX就等于他.

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那么M小于等于几X,所以M要小于等于GX最小值,那么下面的问题就是研究GX的最小出问题,那么就看这个式子绝对值X减二加绝对值X加.

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三,我们用分段讨论法,令X减二等于0,X加三等于0,解出X等于2,X等于3.

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然后2三二,将整个数轴分三段,我们一一考虑.

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X小于等于30,那么GX就得到了2X减一,在这个范围上GX是减的,所以GX是大于等于5的.

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在3到2这个范围上,我们研究出GX是五,去绝对值整理系X就是五,三当X大于等于20,我们GX研究时候是2X加一.

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在大于等于2的时候,GX是一个增函数,那么GX也是大于等于5的.

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通过这三份的研究,我们发现GX最小值,就是我们刚刚说了M小于等于GX,对一切的X恒成立,所以M要小于等于GX最小值,GM小于等于GX的幂,过而M小于五.

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在第二题中我们用的是一种方法,我们简称法医,他其实就是用分段讨论法,研究季X的最小值.

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还有其他的方法吗?

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刚才我们在回顾知识概要时,我们讲的叫绝对值三角不等式,请看法A等于2时,FX10X减二的绝对值计X,就是X减二的绝对值加.

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X加三的就去,那么M小于GX对一切实数X恒成立,所以M小于等于GX的幂就最小值.

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那么利用利用三角不等式GX等于X减二,就是加X加三的减值,它大于等于X减二减X加三的绝对值,也就是五.

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也就是说什么GX是大于等于5的,所以GX的最小值是五,而M要小于GX最小值,所以M小于等于5,这只是这就是用绝对值三角不等式.

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我们得出了GX最小值,那么请看第二.

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若不等式这是一个绝对值不等式,绝对值X加A小于零二在X属于1到2上,恒成立求A的取值范围,我的思想是先将X加A的绝对值小于等于2减一下,所以X加A小于等于2大于等于2.

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我们另为了书写的方便,我们令X加A为GX二要大于等于它,所以二要比它的最大值大,2要小于等于它,所以2要比它的最小值要小,就小一点它的最小值.

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这样一来,我们请看,就有二大于等于GX最大值,2小于等于GX最小值.

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而我们知道GX是X加A在1到2上是增的,所以就有二加A小于等于2,2小于等于E加A.也就是说我们的系X的最大值,就是R加AGX最小值就是一加A.那么这两个式子解一下,解出A小于等于0,A解出来是大于等于3的,这要求同时成立.

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所以A小于等于0大于等于3,也是一种叫恒成立思想,在绝对值不等式中的一个应用.

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我们再来看一下例三,已知函数FX等于X减A的绝对值加X减一的绝对值,就是X减一减值加X减A的绝对值,FX大于等于2,对一切实数X都成立,求A的取值范围.

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那么大家会发现这个题目,跟刚才你很像就是法很像,那么我们来尝试一下.

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因为FX是X减一的绝对值加X减A的绝对值,它大于等于用三角不等式吗?

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绝对值X减一减X减A的绝对值,也就是A减一的绝对值,也就是说FX的最小值,就是A减一绝对值R2小于等于FX对一切的X都成立,所以二比你的最小值要小,那也就是说二小于等于绝对值A减一,那么这样一来的话就解决绝对值不等式,A减一大于等于2或AA减一,小于等于2,从而得出A大于等于3.

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或着要记住是或A小于等于1,所以我们知道A的取值范围就是A大于等于3,或A小于等于1.

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这用了绝对值三角不等式来解题就方便多了.

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各位同学,刚才给大家介绍了绝对值不等式的相关应用,尤其是绝对这三角不等式,在求最值中的一些简单的操作,和恒成立思想的综合应用.

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