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视频 介绍

三个正数算术-几何平均数求最值的应用

本节课主要介绍了三个正数的算术-几何平均数在求最值时的应用.尤其注意等号成立的条件.

涛 孙

教师 合肥七中中学一级数学教师,市综合素质大赛二等奖。

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各位同学大家好,欢迎来到皖新十分钟学校,我是孙涛老师.

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今天我们将来一起学习三个正数的算术几何平均数,再求最值中的相关应用.

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首先我们来明确一下本节课的相关知识点,第一三个正数的算术几何平均不等式,如果abc大于零,那么就有三分之A加B加C,大于等于A乘B乘C的三次方根和十等号成立.

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当且仅当A等于B等于C时此时等号成立,在这里,我们要注意的就是ABC等于是正数,那么有这样的一个式子成立,等号成立的条件是A等于B,等于C其实这一个定理,就源自于我们的基本不等式的推广,那么于是我们继续推广,RN个正数的算术几何平均不等式.

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对于N个正数,A1A21直到N,它们的算术平均不小于它们的几何平均,什么意思?

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也就是说A1加A21,直加到N除以N大于等于A1乘A21直乘到N的N次方根和十等号,成立当且仅当A1等于A21直等于到N时,等号成立.

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这就是我们的理论基础.

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请看你,如果X大于零求,FX等于4X方加上X分之一的最小值,针对这个题目,我们该如何去思考.

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既然是三个正数的,所以在此我们要往这一方面去构造.

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请看,因为X大于零,所以FX就等于4X方,加上将X分之一平分成2X分之1+2X分之一,这三个数都是正数,然后就用刚才讲的第一个式子,它大于等于3倍的这三个数相乘,开三次方根.

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那么将其整理一下,三次方根里面的相乘是一,所以FX就大于等于三,那么在这里等候何时成立.

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刚才我们讲过,我们对它用了这种式子,所以就这三个代数式相等时等号成立,就当且仅当4X平方等于2X分之一时,我们的等号成立我们的FX能够取到最小值为三.

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那么你俩相等时X为几,我们可以简单的计算一下,X等于12,也就是说当X等于12时,我们的FX的最小值为三.

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所以各位同学,这一题要想解决离不开构造,当然我们的构造的前提是要向我们的定理去靠,讲白了就是凑,那么下面我们再来看一下例二.

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塞塔为锐角,求Y等于12sin平方C塔,乘以cos C它的最大值又为C它为锐角,所以这些式子都是正数.

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但是我们既然要寻找最大值,又要用我们刚才所讲的定理,所以我们一样道理要抽怎么抽,有个思路.

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我们知道在三角函数中,赛因平方西塔加上阔撒因平方,C塔是等于1的,就围绕这些凑.

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请看,我们对Y进行平方就出现了14,赛因平方C塔乘sin平方C塔乘cossin平方C塔,那么我们在这里要填一个二,当然要除一个.

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那么在这里写个二倍的阔撒音平方C塔,这里就变成18了.

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各位同学请看,后面这三个每一个它都是正数,所以就用刚才的定理,它小于等于18,折出三分之赛因平方C塔加sin平方C的加两倍的cos平方C的的三次方,这样一来大家就应该知道了,为何要填一个二,为何要将Y平方.

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因为赛因平方加上阔撒因平方,它是等于1的,这样一来分子就是二,所以就是23的3次方,再乘以个18,结果就等于127,Y方小于等于127.

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那么什么时候等号成立,当且仅当sin平方C塔等于sin平方,C塔等于2倍的cos平方C撒石,那么在这里我们可以解一下.

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怎么解?

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因为阔撒因平方C塔它就等于1减sin平方C大,所以解出来撒它等于3分之根号六,当然有同学就会想了,不对.

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你sin平方,A你解出来应该有正负,请看C塔为锐角,所以赛因C它应该是三分之根号六,也就此时此刻,我们的Y方小于等于三二十七分之一.

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也就是Y方的最大值为127,这样一来,Y的最大值为九分之根号三一个道理.

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我们要学会凑网,公示方向去凑.

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各位同学,我们继续来欣赏.

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第三,如果XYZ大于零,且X加3Y加4Z等于6,求X平方Y3方乘Z的最大值.

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这又该如何去操作,各位同学在这里我们一样道理,就用刚才的定理的推广,请看.

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U他等于X加3Y加4Z,在这里大家看一下结果,X平方Y3次方Z为了出现这样的结果.

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我们将X平分3Y3等分,就出现了二分之X加二分之X加上Y加Y加Y,再加4Z这些数全是正数,我们用刚才的推广叫N个正数之间的关系,就有它大于等于六倍的二分之X乘二分之X,再乘一个Y乘以Y乘以Y再乘以4ZK六次方开.

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这样一来各位同学,他那样一撑就会出现X平方,它们三个议程就会出现Y3次方,那么后面还有个Z的一次方,就跟我们要求的结果很峡镇了.

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所以我们这样来进行操作,所以六就大于等于这个式子,整理一下就是六倍的,X的平方Y3次方乘以ZK6次方根,从而就算出来X平方Y3次方乘Z小于等于1和十.

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等号成立,当且仅当二分之X等于Y等于的4Z时我们的等号成立,当然我们可以稍微计算一下,也就是X等于2,Y等于1,Z等于14时.

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等号成立有的同学就说了,怎么算出来的?

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请看,因为我们有比例关系是同时X加3Y加4Z,是等于6的两个式子结合,我们就可以解出XYZ了,这样一来X平方Y3方乘以Z的最大值为一.

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各位同学,今天这节课主要带着大家一起学习了一下三个正数的算术几何平均在求最值中的应用,以及它的相关推广.

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感谢各位同学收看婉欣十分钟学校,欢迎各位同学继续收看婉欣十分钟学校的其他课程资源.<br />

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