{{'Please rotate your device to landscape mode' | trans: locale}}

视频 介绍

基本不等式求最值的应用

本节课主要介绍了基本不等式的相关知识,掌握基本不等式在求最值时的条件:一正二定三相等.

涛 孙

教师 合肥七中中学一级数学教师,市综合素质大赛二等奖。

{{trans['order Lesson']}}
00:00:00

各位同学大家好,欢迎来到皖新十分钟学校,我是孙涛老师.

00:00:12

今天我们一起来学习基本不等式,求最值的相关应用.

00:00:20

首先我们需要明确什么是最基本不等式,如果A大于0B大于零,那么二分之A加B大于等于根号AB,这就是基本不等式,当且仅当A等于B时等号成立,这是等号成立的等价条件.

00:00:46

那么它在求最值中如何应用呢?

00:00:50

D2XY都是正数,则有第一个,若X加Y等于S这个S叫和为定值,就是S是一个常数.

00:01:03

则当且仅当X等于Y乘积,X乘Y取最大值四分之X方.

00:01:16

第二,若X乘Y等于PP为定值,也就是一个常数.

00:01:24

则当且仅当X等于Y时,X加Y这个和取得最小值为二倍根号P,那么我们总结一下和定积.

00:01:41

最大既定和最小就是和定积最大积定和最小,那么在这求最值的过程中,我们需要关注几个字,XY是正数.

00:02:01

第二,定值问题.

00:02:04

第三,等号成立的条件.

00:02:08

我们总结一下为一正二定,三相等,这七个字务必记住.

00:02:20

那么请看例题,第一若X大于零,AB属于R正FX等于AX加X分之B的最小值,下面第二个X小于零时AB属于R正FX的最大值,让我们来求我们一个一看.

00:02:40

先看第一个,首先AXX分之B这两个数都是正数.

00:02:48

第二,它俩相乘是定值一正二定满足了,所以FX用基本不等式大于等于2倍根号下它俩相乘,也就是二倍根号AB.下面验证三相等和十等号成立,因为我是对他俩用基本不等式,当且仅当它两相等时等号成立,从而解决出X等于A分之根号AB,也就是说当X为他时,我们的FX有最小值为二倍根号AB.这第一题直接可以用基本不等式来求最值.

00:03:33

第二题,X小于零,这样一来,AXX分之B它就不是整数了.

00:03:42

那么此时又该怎么办?

00:03:44

因为X小于零,那负X就大于零,那么负的FX就等于负X将负X分之B,刚刚讲了AXAX它是负数,添个负号,就是负的X就是正数了.

00:04:09

一样的道理,负的X分之B为正数,此时这两个就是正数了.

00:04:16

就业证,同时它俩相乘也是定值定,所以用基本不等式大于等于2倍根号下,它俩相乘,也就是二倍根号AB负的FX大于等于2倍,根号AB,所以FX小于等于2倍根号A闭合时等号成立.

00:04:41

因为我是对他俩用基本不等式,所以当它两相等时等号成立,从而算出X就等于负的A分之根号AB.此时FX取得最大值为2倍根号AB.通过例一,我们会发现一正二定三相等的关键,一定要把握住.

00:05:10

要想用基本不等式求最值,必须要把握一些正二定三相等,反复重申.

00:05:18

请看你XY都大于零,X分之一加Y分之九等于1,求X加Y的最小值.

00:05:30

那么这个又该如何去操作,请看,X加YX加Y我们可以写成X加Y乘以E,只是我把这里的医用X分之一加Y分之九替代了,然后展开就得到了十,加上X分之Y加Y分之九,X这是整理的结果.

00:05:59

那么在这里看一下,因为XY都是正数,那么X分之YY分之9X这两项都为正数,同时它俩相乘也为定值.

00:06:13

所以直接用基本不等式大于等于10照抄,加上二倍根号下Y除以X乘以9X除以Y,那么这一块整理是六,那就是最后答案是16.

00:06:31

也就是说X加Y大于等于16和十等号成立,因为我是对X分之YY分之9X用基本不等式,所以当它俩相等时等号成立.

00:06:49

再结合着题干中所讲的X分之一加Y分之九等于1,从而算出X是四,Y12.

00:07:00

所以此时X加Y的最小值为16,这是巧用一的思想,巧用一的思想.

00:07:11

这叫法医.

00:07:12

我们还有其他的方法吗?

00:07:15

当然,一题多解是常规.

00:07:19

请看,由于X分之一加Y分之九等于1,我们可以解得X等于Y除以Y减九,因为X大于零,Y大于零.

00:07:34

请看这里,X大于零,分子已经大于零,所以分母大于零,所以Y大于九.

00:07:41

因为你让我求的是X加Y的最小值,所以X加Y可以整理,将X替换掉,用Y除以Y减九替换,再加个Y这其实就类比于换元思想,也是一种消元.

00:07:59

那么这样一来,这样一来整个式子中就只有Y了,那么大家来看一下.

00:08:09

Y除以Y减九,加上Y我们又该如何去计算,我们在这里要拆,将Y除以Y减90,Y写成Y减9+9,这样一来,展开之后就变成了Y加上Y减99+1.

00:08:36

大家来看一下,首先Y九除以Y减九,这两项都为正数,但是它俩相乘不是定时,所以一阵满足,二定不满足.

00:08:51

我们要凑,怎么做?

00:08:55

这里的Y写成,Y减去减了一个九角,再加一个九,后面还有个一,所以问后面加个十,所以上是可以等于Y减9+9除以Y减九加时,因为Y是大于九的,所以这两项为正数.

00:09:16

同时它俩相乘也为定值,所以此时用基本不等式大于等于2倍根号下它俩相乘,后面再加个十,这整理一下就是16,合时等号成立.

00:09:30

因为我是对Y9Y减99,这两项用基本不等式,所以当且仅当它俩相等时,我们的等号乘以,从而算出X等于4Y等于12.

00:09:50

也就是说此时X加Y的最小值为16,位16就是等号成立了.

00:10:02

各位同学,今天这节课主要告诉大家基本不等式在求最值中的相关应用,尤其要把握一正二定三相等.

00:10:17

感谢各位同学收看婉欣十分钟学校,欢迎各位同学继续收看婉欣十分钟学校的其他课程资源.<br />

相关视频