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视频 介绍

坐标系习题课

本节课主要介绍了掌握极坐标系概念.知道常见曲线的极坐标方程.

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大家好,欢迎收看惋惜十分钟学校,我是数学组老师。

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在前面我们学习完坐标系的有关内容以后,今天我们带大家对本章内容做一个系统的复习。

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好,我们先从平面直角坐标系中的伸缩变换说起,假设点PXY是平面直角坐标系中的任意一点,在变换法I的作用下,其中点PXY对应到点P1撇XY那么此时,我们称I就为直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称为伸缩变换,那么这一块内容当然大家只需要做一个了解,就行了。

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第二个问题,我们要回顾一下,极坐标与直角坐标的互化,第一点,假设点P的坐标为XY,当然这里代表的是直角,坐标,它的极坐标为若C塔,那么这样的话,我就可以将直角坐标与极坐标,建立一个互化,当然互化的前提是第一点,起点与原点重合,第二点,几种与X轴非负半轴重合,第三点取相同的长度单位,它的互化公式为X等于若cos西塔,Y等于若sin西塔,其中若平方等于X平方加Y平方,根据一式平方相加,我们就会得到这样一个公式,第一式两式相除,我们就可以到弹力,西塔等于X分之Y其中,当然X不等于0。

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好,第二点,把平直角坐标化为极坐标时,通常有不同的表示方法,那么此时的几角我们知道他取法是不唯一的,它相差了二派的整数倍,所以一般的我们总取若大于等于0,西塔属于0到2派的左闭右开区间,第三点,我们要回顾一下直线的极坐标方程。

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第一个,若直线过点M若零西塔零,且与极轴所成的角为阿尔法,那么此时直线的极坐标方程,为肉乘以撒音括号,西塔减阿尔法等于肉零,sin西塔零减阿尔法,当然一般形式我们也只需做个了解即可,第二个,我们要重点掌握的是几个特殊位置的,直线的极坐标方程。

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好,第一个是直线过极点的,我们可以表示为西塔等于西塔零和西塔,等于派加斯塔莉。

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第二个,直线过点MA0的,而且也垂直于其轴的直线,我们可以统一表示成若C塔,肉cos西塔等于A第三点,直线过M其中M的坐标为B2分之派,且平行于几轴,那此时的题坐标方程为若sin,西塔等于B第四点,我们来回忆一下圆的极坐标方程,那么我们也给出其中形式的圆的极坐标方程,圆心为M若灵犀塔利,半径为R此时圆的一般的形式为若方减去两倍,的肉灵肉cos西塔减西塔零加上肉零平方减,R平方等于0,当然这种形式也只需要做个了解即可。

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第二个,我们同样的要掌握几个特殊位置的圆的极坐标,方程,第一个,圆心为起点,半径为R的圆,那么此时很明显,它的极坐标方程就为若等于西塔,第二点圆心位于MA0半径为A,那此时它对应,的极坐标方程为肉等于2A乘以cos西塔,第三点,入林此时的圆心位于MA2分之派,半径为A若等于2SIC卡,而此时他的记录要方程,就是这样的一种形式。

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好,下面我们具体来通过几个例题,把本章所学内容,进行一个巩固,立在平面直角坐标系,XOY中直线C1X等于2,以及圆C2X减一,的括号平方加Y减二,括号平方等于1,以坐标原点为极点,X轴正半轴为极轴,建立极坐标系,D求cc R的极坐标方程,第二问题,若直线C3的极坐标方程为西塔,等于4分之派,注意我这里是若属于R,所以就可以用西塔等于,4分之派表示这样一条直线,假设CA与C3的交点为MN,求三角形CRM,的面积。

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好,第一个问题当然很简单,我们只需利用刚才的极坐标和直角坐标的互化,公式,R把X等于入cos西塔Y等于,若三希塔带入,到C和CR中就可以得到C的极坐标方程为若,cos西塔等于2,C2的极坐标方程为入方减去二,柔cos西塔减去四,若sin西塔加四等于0。

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好,第二问题,我们需要做出对应的图形,很明显,C是一条直线,那么这里的CR是个圆,假设C3也是一条,这条直线它的极坐标西塔,等于4分之派,所以是一三象限的角平分线,在途中所对应的三角形就为CRM,那么在这样,一个三角形中,我们观察一下cm和CNN,就是这个圆的半径,所以很明显它是个等腰三角形,而且这时候我们可以先这里算出MN的长度,那MN的计算方法很多,我们在这里可以采用极坐标观点来计算,只需将C塔等于4分之派代入到,此时的方程入方减去二,入cos塔减去四,若撒加四等于0,代入这个方程以后,得到了关于肉的一个1元2次方程,解出入E等于2倍根话,若R等于根号,根号,这样的话,这里的肉一盒数,就分别代表了om和ON的,长度,于是M就是肉一减弱,因此就是根号,于是这个三角形中出现了MN是根号,CRM和CA分别为一,因此这是一个等腰直角三角形,它的面积很明显就是12了。

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好,再看第二个例题,在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为入方等于9+7倍的,sin平方,C塔分之144,以及点O为直角坐标原点,及周XR及周围X轴,的正半轴建立平面直角坐标系,第一个问题求曲线C的直角坐标方程,第二问题,设曲线C与X轴Y轴的正半轴分别交于点A和,BP点是C上任意点求三角形ABP面积的最,大值。

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好,那么第一个问题应该也是比较简单的,首先把曲线C的极坐标方程整理一下,我可以把9+7倍的sin平方C的成到左边,得到九若平方,加上七倍的入方,sin方西塔等于144。

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好,再根据入方等于X方加Y方,Y等于若sin西塔代入到上市中,我们就可以得到曲线C的直角坐标方程为九,X平方加上9Y平方加上7Y平方等于144,再整理一下就会得到方程为16分之X平方,加上九分之Y平方等于7,很明显,这是一个椭圆,那么第二个问题中求曲线C宇X轴Y轴,它的正半轴,此时分别是交于点AB那很明显,我们可以求出AB的坐标,A点是四类,B点是零三,这样的话AB的直线方程就出来了,我们再想一下,此时三角形PAB中,它的边AB是固定的,因此它的面积最大,也就是要保证P点到直线AB的距离最大就,可以了,所以这里面,我们不妨假设P点的坐标为四倍的,cos西塔三倍的sin西塔,这时候可以使用点到直线的距离公式求的点P,到直线AB的距离为绝对值12倍的cos西,塔加上12倍的C塔减去12,再除以五,那上面这个我们可以使用辅助角公式得到,绝对值12倍根号二,sin西塔加四分之派减去12再除以五,很明显,当这里面的撒音西塔加四分之派等于1的时候,可以保证D最大,好,也就是此时的C塔为54派的时候,D的最大值为125倍根号二,再加上。

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好,于是三角形ABP面积的最大值就为12乘A,B再乘以D的最大值,结果是六倍的括号根号2+1。

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好,这就是例二这个问题,下面再看一下最后一个例题,在极坐标系下,已知圆O的极坐标一和直线L的,极坐标,以极点为直角坐标原点及周围X轴的正半轴,建立平面直角坐标系,第一个求圆O和直线L的基座,直角坐标方程,第二个问题,当C塔属于零到派的开区间的时候,求直线L与圆O公共点的一个极坐标。

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好,第一个,把极坐标画成直角做法也是比较简单的,对圆的极坐标方程我们要互化的时候,首先需要将两边同时乘一个入,因此就变成了入方,等于若倍的cos西塔,再加上若倍的sin西塔,鱼是圆O的直角坐标方程为X方加Y方,等于X,加Y整理一下,化成一般形式为,X平方加Y平方减去X减去Y,等于0,那么直线L的极坐标方程中,我需要将这里的撒音西塔减四分之派,利用两角和差公式展开,化简得到的就是若赛斯塔减去若cos西塔,等于1,因此在代入刚才的公式,会得到Y减X等于1,也就是X减Y加一等于0,这样的话我就把第一个问题做完了。

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好,第二问题中需要求直线和圆O的一个公共点,所以我要把直线L和圆O的他们的普通方程联,立,可以得到焦点坐标为X等于0,Y等于1,也就是零一,注意铃音得到的市值,交点的直角坐标,所以最终我们要将它化成极坐标,因此它的极坐标为一二分之派,当然由于西塔是零到派,所以我这时候表示的极坐标应该是,唯一的一二,分之派。

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好,本节课的内容,我们带大家继续把坐标系这章的内容进行了,一个巩固。

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这节课就介绍到这里,欢迎大家继续收看,惋惜十分钟学校的其他视频,再见。<br />

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