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视频 介绍

正态分布(2)

本节课主要介绍了正态曲线、正态分布以及相关的性质。

小松 徐

教师 合肥六中中学一级教师,省优质课一等奖。

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大家好,这里是婉欣十分钟学校,我是数学徐老师,今天我们继续来学习正态分布.

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好,我们先看例一,已知正态总体的数据落在31里的概率和落在三五里的概率是相等的,那么这个正态总体的数学期望是多少,先简单回顾一下我们的正态分布,正态分布与之相关的,最主要的我们要记住正态的分布的密度函数,那也就是发I然后这个密度函数当中,要特别注意它的一些关键的量,比方说里面的派和E都是常数,派是圆周率,而E是自然对数的底数,也就是说里面特别关键的是六合西格玛.

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那么它的缪和西格玛分别起到怎样的作用,D6X等于6是这个概率分布的密度函数的,一个对称轴,也就是说它是一个对称的函数,那么西格玛实际上也就是决定了概率分布密度函数的高寿还是矮胖,也就是说当X等于6的时候,它的最值是根号下二派乘以C格玛分之一.

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好,那么这里面我们观察一下,31和落在三五里面的概率相等,那意味着什么呢,那也就说明在这两个区间上为于正态曲线下方的面积相等,因为区间31和三五的长度是相等的,说明正态曲线在这两个区间上是对称的.

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好,对称的很关键,因为我们就是想找到谬,而这个谬实际上就是我们的正态分布的一个正态,总体的数学期望.

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好,我们需要求出对称轴,由于正态曲线是关于X等于6是对称的,而六的概率意义就是数学期望,也就是数学均值.

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好,我们也就找到了正态分布的数学期望,那就是说我们关键点就是找对称轴.

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好,由于3和1和区间三五是关于X等于1对称,我们很容易找到在数轴上找到这样的对称中心,很自然我们就立刻知道正态分布的数学期望是一I,就说这道题实际上做起来很少,但是思维量还是比较大的.

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好,我们继续来看一下例二,一台机床生产一种尺寸为十毫米的零件,现在从中抽测十个,它们的尺寸分别如下:我们读数据了十点二十点一,十九点八九点九十点三,九点七十九点九十点一,如果机床生产零件的尺寸依塔服从正态分布好正态分布,求正态分布的概率密度函数是.

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我们说了,概率密度函数是它的关键点是缪和西格玛,而六是什么,六就是期望,期望是什么,期望就是均值均值,也就是说我要求出这么多数据的平均值,那自然是比较简单的.

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另外一个关键的参数是希格玛,那西格玛是什么,西格玛是标准差,那西格玛方是方差,那也就是很自然,通过这些数据我再把方差求出来,那也就是说我只要求出了这些数据的均值和方差,我们就能够写出概率密度函数是.

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好,我们确定出六盒西格玛方字就可以了.

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好,六的求法很简单,把所有的数据加起来再除以个数.

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好,答案是西格玛方,是由每一个数据减去均值的平方,然后求和,求完核之后再除以十,这是方差.

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好,我们计算的结果是003,这样的话我们的六合西格玛方就都算出来了.

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好,我们的概率密度函数FX也就很自然出来了,根号下R派西格玛,西格玛也就是003,也就是3100的算数平方根,也就是根号103,所以是根号下六派分之十.

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而这边是X减去6的平方是分子,分母是二西格玛方二西格玛方相乘,这样我们得到这样的结果,所以是503再乘以X减去10的平方,所以直接代入化简就可以了,这就是我们的概率密度函数.

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好,我们看一下例三,例三是一个正态曲线,我们知道正态曲线它有哪些特点,第一它是一个单峰的,第二正态曲线,往两边是无限延伸,与X轴是无限接近,但不相交,而且我们的正态曲线还具有一些特点,它有对称轴,它有最大值,而且我们的正态曲线它与X轴所围成的面积为一,那也就是我们的概率,当前面所学过的分布列所有的概率值之和为一.

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号,现在我们根据这个图像写出其正态分布的概率,密度函数的解析式,求出总体随机变量的期望和方差,我们说正态分布思维量大,计算量少,所以就是说我只要熟记我们的概率,密度函数的解析式,那么已经知道以及知道当中的六和西格玛所代表的含义,那这些题是非常简单的,六是什么是对称轴.

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当中的X等于6,西格玛呢是我们当X等于6时所取得的最大值,是根号下二派乘以西格玛分之一,同时他们在概率当中的意义or6就是期望西,格玛方就是方差.

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好,我们来看一下,这就是盖我们的概率密度函数,根号下二派乘以C格玛分之一,实际上我们通过这个式子也很容易辨别出当X等于6时取得最大值,那最大值实际上就是对称轴所对应的最高点所对应的我们的纵坐标,也就是说通过这个解析式,我们也很容易观察出X等于6就是它的对称轴,而当X等于6的时候带入进去,发现最大值就是根号下2pa乘以C格玛分之一,具体的求解我们看图就可以得到,刚刚看图,它是关于X等于20对称,所以六就等于20,最大值是二倍的根号派分之一,所以我们也就得到根号下二派乘以西格玛分之一,是等于2倍的根号派分之一,由此解的西格玛是根号二,这样我们的概率密度函数的解析式也就求出来了.

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好,很自然,我们也知道缪和西格玛的具体的一些含义,所以数学期望就是六二十,方差就是西格玛方,所以是二.

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好,我们看例三的第二小题,若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值等于4倍的根号下二派分之一,求该正态分布的概率密度函数的解析式.

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通过刚刚的学习,我们也知道是偶函数,它的对称轴是X等于6,那是偶函数就意味着谬为零,最大值是四倍的根号下二派分之一,我们知道最大值是根号下二派乘以C格玛分之一,那也就意味着西格玛,所以概率密度函数的解析式我们也就很容易求解,你看一下六决定了曲线的对称轴的位置,西格玛和曲线的形状和最大值有关.

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好,求解如下,有了缪和西格玛带入到我们的概率密度函数当中,就得到这样的式子是四倍的根号下二派分之一乘以E的32分之X平方,其中注意X属于R.好,今天的课到这里结束,欢迎同学们继续收看婉欣十分钟学校其他课程的视频,谢谢.<br />

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