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视频 介绍

用二分法求方程的近似解(2)

本节课主要介绍了如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)∙f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0 的根.

明军 周

教师 合肥32中中学一级教师,市综合素质大赛二等奖。

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00:00:00

大家好,欢迎来到晚清十分钟学校,我是数学老师周老师.

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前一节课我们学习了分法的概念,那么今天这节课我们来学习如何使用分法求函数近似解求函数的零点,或者就方程的近似解的问题.

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好,用分法,求方程的近似解.

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首先我们来回顾一下什么叫二分法,对于在区间AB上连续不断且满足这个F乘FB小于零的函数,Y等于FX通过不断的把函数FX0点所在区间一分为二,把使得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法,如何用二分法来求这个方程的近似解.

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好,下面我们来看一看,来要求方程的近似解,我们求到哪一个减,能够作为这个方程近似解,首先要给定精确度fc龙.

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用二分法求这个函数零点近似值,我们也就是说它对应方程的近似解,它的步骤往往要分下面这样几个步骤.

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第一步,确定区间,AB验证它是否满足F乘FB小于零,当然给定精确度,FC茏这个往往是题目直接给定的,这个有时候题目告诉我们,有时候我们要求自己去确定他零点所在的一个区间.

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好,这是第一步,第二步我们开始取中点,因为要把这个区间一分为二,我需要把重点找到取终点C.这个C的计算,大家知道我可以用C等于2分之A加B来表示,这样就把AB这个区间中点找到了.

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好,找到这个重点以后,下面我要计算中点所对应的函数值,那就是下面第三步我要计算FC计算FC的,结果往往有三种情况,第一种情况就是FC正好等于0,这种情况我们得到的其实不叫近似值了,它就是一个准确值,很巧,这个中点就是这个函数的零点,C就是函数零点,这种情况一般很少,大部分情况C都不等于0,那不等于0.

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下面就以下两种情况,一种是F乘fc小于零,那就在AC这个区间上满足这样一个条件,那就说明零点应该位于A到C这个区间零点X0应该在于这个区间上,为了下面讨论的方面,我把这个C仍然用字母B来表示,也就令B等于CR那就是新的零点,仍然在A到B这样一个区间上.

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好,这是第一种情况,FA和FC的乘积小于零,下面一种情况大家都想到了,那就是fc和FB的乘积小于零,这个时候零点应该位于C到B这样一个区间上,为了后面讨论方面,我把C用字母A来表示,也就是说零点也在这样一个新的区间,AB上此时得到的AB区间都是原来区间长度的一半了,这叫分完以后把零点不在的区间舍掉,留下零点,所在的区间长度变为原来的一半.

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好,这样我把这个区间长度缩小了,你越来越逼近于零点了,是否达到要求了.

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下面进入第四步,我就要判断他是否得到精确度,fc龙怎样判断他达没达到精确度呢,那就是验证新的区间,AB它的区间长度是否小于FC龙,也就是A减B的绝对值小于FC0,如果小于,那么他已经得到精确度了,此时我在这个区间上任取一个点,通常情况下我们就取端点A或者是B作为这个函数零点的近似值,如果没有达到,那我应该再回到刚才的第二步,我再去重点把这个区间再缩小一半,重复上面2到4的步骤.

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好,这就是二分法的解题步骤,那重要的应该是从第二步到第四步这样几个步骤,尤其是在第四步的时候,我们一定不要忘了去判断这个是否达到精确度.

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只要达到精确度,我们的计算就可以不用再分了,直接在零点所在的区间上取一个端点,作为它的近似值就可以了,如果没有达到我再重复上面的步骤.

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好,下面我们来看一下,为什么说满足这样一个条件,他就能得到精确度了,这是我们要思考的问题,为什么有A减B的绝对值小于FC龙就可以判断零点的近似值,就用A或者用B来表示.

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好,大家想一下,我要能判断这个条件就得到近似值的话,也就是说我零点到区间端点A或者端点B的距离应该都小于fc龙,这样我就得到我的精确度了.

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好,它能不能满足这个要求,下面大家看我们来证明一下,我们设这个函数零点,用X0来表示,根据题目意思,X0应该在这样一个区间上,也就大于A小于B,我把这个不等式全分两种思路来考虑,一种我在这三边全部减去一个A左边减A是零,中间减A是X0减A右边减A是B减M.第二,我在不等式三个三边全部给他减去个B,那他就达到这种形式,左边是A减B中间是X减B右边是零.

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好,这里大家注意,X减0X减B,就可以来判断零点X0到A和到B的距离了,下面我就要说明这个距离是比fc6要小的,那就达到要求了.

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显然有上面这个条件,AA减B的绝对值是小于X龙的,而又有这个条件,我们知道X0减A的绝对值肯定是小于B减A的绝对值.

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B因为是大约的就小于B减一,显然B减A是小于FC了,所以X0减A是小,它的绝对值小于FC龙,也就判断了零点到左端点A的距离是小于FC中的,那么它到右端点,B也就是X0减B的绝对值大于A减B,它的绝对值就应该是小于A减B的绝对值,因为此时的A减B大家注意到是个负值.

00:07:16

好,小于HB的绝对值也就小于FC0,那就判断了X0到右端点B的距离也小于精确度,到左端点距离小于精确度,到右端点的距离也小于角度,说明这个区间已经被我们分的足够细了,也就达到我们的要求了,所以我们就可以下结论.

00:07:41

A或者B作为X0的近似值都可以达到给定的精确度,mc龙.

00:07:47

好,在二分法的操作步骤中,大家必须要验证满足了这样一个条件以后,我才在最后A到B的区间上才可以取任意一个值作为这个函数零点的近似值.

00:08:07

好,今天这节课我们学习了二分法求函数零点近似值的具体步骤,那么在这个步骤中希望大家注意最后第四步,一定要去判断AA减B的绝对值,也就我们最后达到的区间,这个长度是否小于精确度.

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好,感谢大家收看,欢迎继续收看晚间十分钟学校的其他课程.<br />

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