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视频 介绍

柯西不等式与排序不等式章节复习

本节课主要介绍了二维形式和一般形式的柯西不等式以及排序不等式在解决最值,证明不等式中的应用,通过例题的讲解加深了学生对问题的理解.

涛 孙

教师 合肥七中中学一级数学教师,市综合素质大赛二等奖。

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各位同学大家好,欢迎来到皖新十分钟学校,我是孙涛老师.

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今天我们进行第三章复习总结,首先来看一下柯西不等式与排列不等式的复习纲要.

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第一,二为形式的柯西不等式,若ABCD都是实数则,A方加B方乘以C方加D方大于等于,括号A乘C加上B乘D括号的平方.

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在这里,当且仅当ad等于bc时等号成立,二一般形式的柯西不等式,在二维的基础之上进行拓展.

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设A1A二到ANB1B二到BN都是实数,则括号A方加A2方一直加到N方乘以be方加B2方一直加到BN方,大于等于括号,A1乘B1加A2乘B21直加到an乘bn括号的平方,在这里和十等号成立.

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当且仅当BI等于0或存在实数K使得AA,等于K倍的BI.此时等号成立这里的A是123,一直到N这是二维和一般形式的柯西不等式.

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三排序不等式也叫排序原理,是由两个有序实数组A一小于等于A21,直小于等于到ANB1小于等于B21直小于到小于等于bn,C1C21直到cn是第1B21直到bn的,任意一个排列,则有A1乘bn加A2乘bn减一,一直加到an乘,B1小于等于A1乘C11直加到AN乘cn,小于等于A1乘B1,加上A2乘B21直加到an乘bn.

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什么意思?

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也就是说这是一个反序和小于等于乱序和小于等于顺序和,合时等号成立呢?

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当且仅当A1A21直到N相等或B1B,21直到bn相等时,有反序和等于顺序和,这就是我们的排序原理.

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请看例一,已知M方除以X方加上N方除以Y方等于1,求证,X方加Y方大于等于括号M加N括号的平方,这该如何操作?

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请看根据柯西不等式,我们在这里要拼凑一个E出来,X方加Y方,我们可以写成X方加Y方乘以一,写E的目的是为了替代.

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将他带入就得到了X方加Y方,乘以M方除X方加N方除Y方,那么在这里它在形式上,已经满足了二维形式的柯西不等式.

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所以它大于等于X乘以M除X,加上Y乘以N除Y括号的平方在这里要讲一下,一定是Y乘以N除Y不是这里的外方.要注意,那么我们将其整理一下,M加N括号的平方,从而也就证明了我们的题干,这个利益就是二为柯西不等式的简单应用,一定要注意一的巧用.

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第二,已知正数ABC,求证A方除B加B方除C加C方除A大于等于A加B加C,这是一个不等式的证明,就该如何操作?

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各位同学请看这里,我们将A放入B加上B方除C加上C方除A,我们对它成一个A加B加C我们要在形式上,构造出柯西不等式的模样.

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当然这是A加B加C,我们接下来书写时要注意,将这里的A方除B写成A除根号B括号的平方,后面依次如是,这里的A加B加C写成根号B括的平方加根号,C括号的平方加根号A括号的平方.

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当然有的同学可能发现了,第一将之前的A写成了根号A的方,这没有问题,只是在这里顺序上我颠倒了一下,其目的是为了要求形式上满足柯西不等式的模样.

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这样一来请看它大于等于A除根号B乘以根号B加上B除根号C乘以根号C,再加C除根号A乘以根号A括号的平方,我们对其整理就是A加B加C括号的平方.

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各位同学,它乘以A加B加C,它大于等于A加B加C括号的平方,因为abc都是正数,此时此刻在不等式的两边同时除以一个正数,不等号方向不改变.

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所以我们将A加B加C除过来,就得到了iPhone除B加B方除C加C方,除A大于等于A加B加C这就是我们要证的不等式.

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这其实也就是我们讲的三维形式的柯西不等式,它是二维的推广,是一般柯西不等式的合力,当然在正这一题时一定要学会拼凑.

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请看例三,在三角形ABC中求证,三分之派小于等于小A乘大A加上小B成大B,加上小C程大C除以小A加小B家小C.在这里给大家说一下,小A小B小C是三角形的三个边,大A大B大C是三角形的对应三个角.

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让我们证明这个不等式,我们在这里我们用排序不等式来试一试.

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我们构造出三角形ABC的边和角的有序数列,构造应用排序不等式来证明.

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请看,我们不妨设小A小于等于小B小于等于小C,在三角形中我们知道大角对大边小角对小边,所以就有大A小于等于大?

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B小于等于大C那么有排序不等式,我们知道顺序和大于等于,乱石和大于等于返去和,那么下面请看.

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我们将小A乘大A加小臂呈大B加小C城大C,这是我们的顺序和,它当然大于等于它本身.

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在看同样的道理,小A乘大A加小臂呈大B加小C城大,C它大于等于乱学和,就是B小B成大A加上小C城大B加上小A乘大C下面如是.

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为何要写三个式子,目的在于相加.

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各位请看,左边是三倍,大于等于右边来看,小A乘大A小B小B城大A小C城大A.我们当加在一起之后就可以把大A提出来,就变成了A加B加C乘以一个大A后面,如是所以整理的结果就是A加B加C括号乘以大A,加大B加加C.那么在这里我们知道题干中有个派如何出现呢?

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我们同学已经发现了,大A加大B加大C是三角形,内角和就等于派,所以就有三倍的塔大于等于派,乘以括号A加B加C.我们将三除过来,再将A加B加C除过去,就能达到三分之派小于等于小A乘大A加小B成大B加小C城,大C除以A加B加C这就证明出了我们的题干,这就是排序不等式在此其中的相关引用.

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各位同学,今天这节课主要带着大家复习了一柯西不等式,二排序,不等式在证明中的相关应用.

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感谢各位同学收看婉欣十分钟学校,欢迎各位同学继续收看婉欣十分钟学校的其他课程资源.<br />

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