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视频 介绍

参数方程习题课

本节课主要介绍了掌握曲线参数方程的概念.知道常见曲线的参数方程.

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大家好,欢迎收看惋惜十分钟学校,我是数学左老师。

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通过前面的学习,我们已经知道了一些曲线的参数方程,那么这节课,我们就继续来研究一下相关问题,首先我们来回顾一下曲线的参数方程的概念,在平面直角坐标系XOY中,如果曲线上任意一点的坐标,XY都是某个变数,T的函数,X等于FTY等于gt,并且等于T的每一个允许值,上市所确定的点MXY都在这条曲线上,则称上是为该曲线的参数方程,其中的变数T为参数。

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好,我们给出一些常见区域性的参数方程,第一个过点P0X0Y零我们通常称之为定点,且倾斜角为阿尔法的直线的参数方程为X,等于,X0加上T扩赛阿尔法,Y等于Y0加上T3阿尔法T为参数,其中参数T的几何意义,是直线上的点P到P0,的数量,也就是T的绝对值是等于,P0P向量的模长。

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好,T的值实际上是可正可负的,所以大家要记住T的绝对值,代表的是定点到动,点的距离,使用该市的时候,直线上任意两点P1P对应的参数分别为T1,和T这样的话这两点钟的距离就是可以表示成,绝对值T1减T2pp2的终点对应的参数,就是12括号T加上T2。

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好,那么要想使用这个参数来解决相关问题,必须要注意我这样的参数方程,必须是标准的,参数方程,所谓的标准也就是替旁边的系数的平方和为一。

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好,第二个关于圆,X减A括号平方加Y减B括号平方,等于2方的,参数方程为X,等于A加上2cos西塔Y,等于,B加上二乘以sin西塔,其中C塔为参数,对椭圆A方分之X方加B方分之Y方等于1,A大于B大于零的参数方程为X等于A,cos西塔Y等于BC塔,其中C塔为参数。

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好,对于抛物线Y平方等于2px,其中P大于零的参数方程为X等于2,PT方Y等于2pt,其中的T为参数,这是常见的几类。

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好,下面我们一起来看一下相关的例题,第一个问题,已知椭圆C的方程为,四分之X方加上三分之Y,方等于1直线L的方程,这是参数方程为X等于3加根号三,TY等于2倍,根号三加T其中T为参数,第一个问题让我们写出椭圆C的参数方程,以及,直线L的普通方程,也就是说,我们需要学会参数方程和普通方程,之间的互化。

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好,很明显,椭圆的参数方程还是比较容易写的,也就是X等于2倍的cos塔,Y等于根号三倍的sin西塔,别忘了西塔为参数括号不能丢,这是第一个,椭圆C的参数方程,第二个直线L的普通方程,我们知道把直线的参数方程化成普通方程,它的主要方法就是消餐,我们想办法把这个气消掉,所以我只需要拿二式乘以根号三在合议时相减,这样就把根号3T消掉了,所以我们得到直线L的普通方程,最终为X减去根号3Y加上九等于0,这还是很容易做到的一个事情。

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好,第二个问题,假设A点是零一,A点是102,这样一个坐标,若椭圆C上的点P满足到点A的距离,与其到直线L的距离相等,求点P的坐标,这道题肯定是要建立方程来求解,利用这个距离相等可以建立方程。

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好,由于P是在椭圆上,所以我们可以设出它的参数形式是二倍的,cos西塔根号三,sin西塔,这就是点P的坐标。

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好,然后A到P的距离可以使用两点间的距离公式,可以写成根号下两倍的cos塔减一括号平方,再加上根号三倍的cs打括号平方,经过化解我们可以得到这个式子,正好就是二减cos西塔二减cos塔可以,直接开出来,因为二减扩赛是恒大于等于0的很大于零的,然后我接下来还要计算出,点P到直线L的距离,我可以用点到直线的距离公式,是二分之绝对值,两倍,cos塔减去C塔加九,这样的话大家会发现分子力虽然含绝对值,但是我们发现绝对值里面的数,它是恒大于零的,所以可以直接区别的值,于是就是22倍cos西塔减三倍30,他家九。

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好,这样根据题意我们可以建立一个等式,也就是ap等于DR这两是相等,这两事项经过化解,我们可以得到三倍的sin西塔减去四倍的,cos塔等于5,那么给出这样一个方程以后,再结合隐含条件,sin平方C塔加cos平方C塔等于1,我们就可以解出的撒韦45,cos西塔为45,从而再带回到P点的坐标中,于是可以求得P点的坐标为85,35倍根号三。

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好,这就是利益这样一个问题。

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好,再来看一下例二,在平面直角坐标系XOY中,直线L的参数方程,为X等于2加TY等于根号三倍的T其中T为,参数,以原点O为极点,以X轴正半轴为基础,建立极坐标系曲线C的极坐标方程为若sin,平方C塔等于8倍的cos西塔第一个球,C的直角坐标方程。

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第二个,设直线L与曲线C交于AB2点求弦长AB,那么这道题实际上是前面所学的极坐标和参数,方程的一个综合性的问题。

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好,首先第一步要想把C的极坐标方程化成直角,坐标方程,我们要两边先同城肉,这样的话这就变成肉,三四大括号平方等于8肉cos西塔,这就是Y平方等于8X于是曲线C,实际上就是,一条抛物线。

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好,第二个我们可以使用把直线L的参数方程的,标准形式写出来,就是X等于2+12,TY等于2分之根号三,T如果不是标准的,我们要化成标准的,然后才能解决问题,最后再把直线的参数方程,代入到抛物线的方程,中,可以得到关于T的1元2次方程,是三倍的T方,减去16倍的T再减去64等于0,于是直线和抛物线相交所形成的弦长,就可以用,弦长公式来计算了,假设AB2点对应的参数分别为T和T令伟达,定理,两根之和T加T2是16两3根之积,T成TR,是643,而这里的弦长就是绝对值T减T2T减T,我们,可以使用T加T2的平方减四比tt再开方,使用这个公式来计算。

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好,再代入相关的数值,这样我们可以算出AB的行长为323。

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好,这就是利用了直线参数方程中参数的几何意义,来求解行肠问题的一种很典型的例题。

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好,再看一下最后一个问题,在平面直角坐标系XOY中,以原点为起点,X轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,已知圆C的参数方程为X等于1,加扩赛阿尔法,Y等于萨尔法,其中阿尔法为参数,直线L的极坐标方程为根号二倍的,若cos括号,西塔减去四分之派等于3。

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好,第一个问题仍然是让我们求直线L的直角方程,和圆C的普通方程,第二问题求圆C上任一点P到直线L距离的最,大值与最小值,第一个问题还是比较简单的,我们先看一下直线L的极坐标方程,我这里面需要先使用两角和差公式,进行展开,展开以后得到若cos西塔加入C塔等于3,也就是X加Y等于3,7X加Y减三等于0,这就是L的直角坐标方程,而圆C的参数方程为它,那我们一下下把一移到左边会得到X减一等于,cos西塔,然后平方相加可以得到圆C的普通方程为X减,一,括号平方加Y平方等于1。

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好,这样的话第一个问题很轻松的就解决了。

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好,第二问题,由于圆C的普通方程我们是可以发现它的圆心,是一零,半径为一,二圆心到直线的距离,我们可以算出是可以使用点到直线的距离公式,根号二分之绝对值10,R1+0再减三,我们可以算出是跟画是大于的,圆心到直线的距离大于半径,所以直线和圆C是相离的,因此圆上任意点到直线距离的最小值,就是圆心到直线的距离在减半径,所以是根号21,那么最大的就是圆心到行程距离,在家半径也就是根号2+1。

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好,这样的话我们可以数形结合,很快就解决这样一道问题。

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好,本节课我们主要带大家继续通过一些例题,把参数方程内容做一进一步的巩固,这节课的内容就介绍到这里。

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