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视频 介绍

曲线的参数方程(1)

本节课主要介绍了理解曲线参数方程的概念.会求简单的曲线参数方程.

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大家好,欢迎收看晚行十分钟学校,我是数学左老师.

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从今天开始我们一起来学习第二章参数方程,那么今这一节课我们主要来介绍参数方程的有关概念.

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首先我们来看一下什么是参数方程?

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那么有别于我们以前所学习到的普通方程,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意点的横坐标为X纵坐标为Y,它如果都是某一个变数,T的函数,我们可以表示成X等于FTY等于gt,而且对每一个T的允许值方程,E所确定的点XY都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,T叫做参数相.

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对于参数方程而言,给出直接给出坐标间的关系的方程,我们就称之为普通方程.

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好,这就是参数方程的概念,那么对参数方程里面,这里面实际上就相当于饮多引入了一个量T,T我们往往也称之为中间量,或者说过度量,这样一个T是有一定的几何意义的,那么其中参数是联系变数,XY之间的桥梁可以是有适当的物理意义,也可以是具有一定的几何意义,也可以是没有任何实际意义的变数.

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好,这就是参数方程的有关概念,下面我们主要来结合几个题目,来看一下如何去确定曲线的参数方程.

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好,先看一下例一,已知曲线C的参数方程为X等于2倍的cos西塔,Y等于3倍的sin西塔,西塔为参数C它的范围是0到2派的左闭右开区间,那么这里面直接大家注意的是,我们今后在书写参数方程的时候,一般习惯利用方程组的写法,X等于多少,Y等于多少.

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那么一定要注意谁为参数要把它标示出来,用小括号来表示.

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这样的话,这个曲线C的参数方程,就是用一个就是西塔的为变量的一个参数方程,那么现在我们来判断点A20B负根号三,12是否在这个曲线C上.

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如果在的话,能不能求出对应的参数值.

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T好,我们来看一下这道例题,首先我们想一下,既然让我们判断点是否在曲线上,我们以前的做法是把点代入到方程中,看看是否适合这个方程.

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只不过我现在的方程变成了参数方程,那道理他当然是一样的,我把A点二零代入参数方程里面,也就是说横坐标二倍的cos塔等于2,我们可以解的cos塔是等于1的,三倍的西塔等于0,那我可以解出撒等于0.

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好了,又由于C塔是在0到2派的左闭右开区间,这样的话我们就可以到西塔为零.

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于是点A20在曲线C上,它所对应的参数测塔就等于0.

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好,类似的我B这个点也可以这样去处理?

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我将B点的坐标代入到曲线的参数方程中,这时候我们可以解的cos西塔等于2分之根三撒等于16,大家是来观察一下这个方程组,我能不能解除.

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C塔很明显由于正弦的何勇找同一个角的平方,和应该唯一这个使得明显不满足,所以这个方程组是无解的,这也就说明点B就不在曲线C上.

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好,那这样的话我就可以通过靶点的坐标代入到参数方程,直接去判断这个点是否在参数方程上,和我们前面的普通方程处理方法完全类似.

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好,下面我们再来看一下这样一道例题,如图所示,oa是定圆的直径,长是A直线,ob与圆交于M1,和过A点的切线交于点B其中MM1垂直于oa,MB平行于oa.

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那么直线MM1与MB交于点M与oa交于点C,这时候我按照这种方式,建立一个坐标轴求动点M的参数方程.

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那么这道题目我们一起来看一下,应该还是比较复杂的一道题.

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一般来说要想求出动点的轨迹的参数方程,我的原则是求哪一点就是哪一点,所以我们可以先不妨设出M的坐标为XY,好,这里面假设om Eom E与X轴的夹角为西塔,我们取西塔为参数,再连接M1,当然由于OA是圆的直径,所以ME是垂直于om E的.

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那么于是在直角三角形中,我就可以得到OCoc的长度,利用直角三角形里面的解三角形的知识,我们知道就是2A乘以cos西塔再乘以cos西塔等于2A cos平方C塔.

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而AB在这里面在直角三角形oa B中,我们可以解的就是I乘塔DC塔.

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于是我这里的横坐标M的横坐标X就等于2A,cos平方C塔它的纵坐标就是2A塔DC塔,而这个正好就是西塔的函数,那因此这就是所求点M的轨迹的参数方程.

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好,这是我们利用参数方程的思想来求出对应的轨迹方程,那么除此以外,我们也可以使用普通方程的思想.

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不妨假设M的坐标仍然是XY有提议,这时候我们可以到圆的标准方程就是X减A的平方,括号平方加上Y平方等于A方点,B的坐标就是2AY,那么我这时候可以假设ME的坐标是X0Y零,那么根据对应的关系,因为MMEC它是垂直于X轴的,所以X0是等于X横坐标相同.

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那么根据比例我可以得到Y除以I等于Y0除以X0,这时候Y0就可以解的是2A分之Y,kiss再将X等于T换成X,于是Y0就表示2A分之XY这样表示的目的是讲ME的坐标完全是用M的坐标来表示.

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而我们知道M1是在圆上,所以可以代入到圆的方程中,然后我们再把相应的X0Y力带入进去.

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这时候我就可以得到X减A的平方加上4A方分之X方,Y方等于A方.

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这时候得到的这个轨迹方程就是M的轨迹的普通方程.

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好,这种方法实际上就是我们以前所介绍的相关点法.

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好,我们来总结一下求动点的轨迹方程,是解析几何中常见的题型之一,通常可以用解析法寻找变量之间的关系,列出等式得到曲线的方程.

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当变量之间的关系不容易,用等式表示的时候就可以引入参数,使变量之间通过参数连接在一起,从而可以得到曲线的参数方程.

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好,再看一下第三个例子,在这个图中三角形ABP是等腰直角三角形,其中腰长是A顶点AB分别在X轴Y轴上滑动,求顶点P在第一象限的轨迹的参数方程,仍然是一道参数方程的有关问题.

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好,由于求P的轨迹方程仍然是把P的坐标设出来为XY,这时候我再过P点作X轴的垂线垂足为Q我不妨取OT等于7,ob等于7,T为参数,很显然T的长度是在零到A的必须间,直接这样的话我可以算到oa的长度.

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根据勾股定理就是根号下A方减T方BQ的长度,由于三角形A bo和三角形BQP,这两个直角三角形是全等的,所以BQ的长实际上也是根号下A方减T方.

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于是P点在第一象限力的顶点的它的轨迹的参数方程,也就是P点的横坐标,就是T再加上根号下A方减去D方,它的纵坐标实际上就是PQ也就是这个ob,于是就是T这时候这就是顶点.

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P在第一象限的轨迹的参数方程,由于它的第一象限,所以T所对应的数它的范围,是在零到A的必须间之间.

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好,那么这题仍然是一个参数方程的思想,好,本节课我们主要带大家研究了曲线参数方程的概念,通过若干个题目,向大家展示了如何求动点轨迹的参数方程,这节课内容就介绍到这里.

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欢迎大家继续收看晚馨十分钟学校的其他视频.

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再见!<br />

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