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视频 介绍

杨辉三角与二项式系数的性质(2)

本节课主要介绍了1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出.2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值,赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0、1或-1,但在解决具体问题时要灵活掌握.

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朋友们,大家好,欢迎大家来到宛心十分学校.

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我是林飞老师,今天给大家带来的是第一张的技术原理,13羊纹三角与I项系数的性质第二部分,也就是二项系数的应用.

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首先我们要回顾一下二项秀的性质,有三个主要的,第一个对称性与首末两端等距离的两个二项,系数要相等.

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也就是cm等于cn N减M,第二个增减性与最大值当N是偶数的时候,中间的一项取得最大值.

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当N是奇数的话,中间两项是相等,那么同时取得在us.

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我们这样就可以看出,其二次二项式的展开是从第一项开始,它的二项系数是逐渐增大,增大到中间的一项或两项是,然后再逐渐减小.

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第三个性质是二项系数的总和,结果是二的N次方,我们前面已经用赋值法加以证明,作为展开式的袖子和的问题.

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这个问题我们当然可以通过同样公式逐项求出,然后相加,但这个机缘量比较烦.

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我们通过观察展开式,又想得到A加上A7这么一个七个系数的和,实际上只需要把X隐藏,那么怎么隐藏?

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可以采取我们二项定理中的最主要的一个解法,赋值法,令H1这样展开式就形成了AA1A0加A,11直加到H而左端那就应该是1的7次方,也就是1.

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那么A0这个数怎么来处理,显然要想单独得到A0A零很轻松,我们只要让后面的全部消掉,所以只要令X等于0即可.

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因此当X取零的话,A0就等于1的7次方也就是一,于是我们第一问的结果就是1减1得到2,这个问题是求A加A3加A5+1起展开式中的偶数项的和,那么我们怎么来求它的部分系数的和.

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当然一样可以通过二项定理的通项公式,分别算出这四个数再相加.

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只不过我们现在在试验一下,能不能使用复制法,刚才我们发现H1得到的是A01直加到H,那么如何把这四个数抽取出来.

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我们有一个办法再令H1,也就是有A0减A1加A2减A3加A4减A,5加A6减H1等于3的7次方,1减2乘以1是三三的7次方.

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这样通过观察这两个式子,我们发现要想得到A加A3加A5+一七很轻松,只要把一和二相减即可.

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然后出就可以得到结果为1090.

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当然大家通过这个办法,其实还可以算出12X,括号七次方的展开式的奇数项的系数和,只要把一和二相加再除以二就行了.

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那么第三个问题,如何来求展开式中各项系数的绝对值的和,当然我们的绝对值首先要考虑怎么样?

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拿掉,通过一减X的括号七次方展开的时候,我们可以发现每一项的系数其实是有正有负的金实验,A0,它是第一项,所以是C七零×1的七次方.

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这一项是C七一×1的六次方乘以负的2X来一次方,所以今整理这一项的系数,也就是A1实际上是个负数.

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以此类推,L正数A3负数,一直往后排.

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所以我们可以看出,每一项的系数的绝对值其实是可以拿掉的,它的奇数项的系数是正数,它的偶数项的系数是负数.

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所以我们求的这个式子的数字可以先化简为A,0减A1加A2减A3加A45加A6一七,实际上也就是我们刚才第二问中的这么一个结果,答案应该是两千一百八七.

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这个利益我们是借助于赋值法解决掉一个二项式展开式,从不分项或者是全部项的系数的和差问题,这个问题要求展开式中,如果各项的系数和比各项的二项式数和大992的话,如何来求N的数字.

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那显然按照题意,我们知道各项的系数的和如果把它展开的话,应该出现N加一个项的和.

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那么如何把它的系数单独拿出来?

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变成核的结构.

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按照刚才例一,我们其实只需要复制法令,挨个取一这样,这个式子结果就是1+3,四的N次方它的展开式,也就是说含X的是这个字母就全部消失.

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剩下的都是各项的系数,也就形成了各项的系数和也就是我们的四的N次方.

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另外各项的二项系数和大家都知道,前面我们有这个结论是二的N次方,所以我们形成了一个方程四的N次方减二的N次方等于992,那么这是一个指数型方程.

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我们可以把二的N次方看成是一个未知数四的N次方,也就是二的N次方的括号平方,所以我们先把二的N次方解除.

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通过因式分解得到二的N次方等于32,既然得到N等于5,这个问题是求展开式中二项式系数最大的像.

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通过前面二项系数性质,我们知道N如果是偶数,它展开式奇数项中间一项二项系数最大,N如果是奇数,它展开像是偶像剧,应该是中间两性的,像隧道最大.

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刚才我们经计算I等于5,所以它的展开应该是偶缩像,这样得到了展开式中二项需要最大的项为中间的两项.

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一共是哪两项?

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展开一共是六项,所以应该是第三项和第四项.

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我们利用通项公式,T3其实分别带入竞争力,得到他们的二项系数最大的这两项.

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第三个求展开式中系数最大项,由于我们现在可以看出所给的二项四的中间的第二项,它有一个系数为三,鲜京展开以后,各项的系数与其二项系数是有不同了.

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那么二项系数计算按照刚才的第二份已经解决,而本题要算系数最大,如何来处理?

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我们知道展开式其实是一个数列和的结构,那么又想判断哪一项的系数最大?

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我们其实可以判断它的相邻项问题,就是说你这种系数要最大的话,必须大于前面的项的系数,也要大于后面的项系数.

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这样我们先通过通用公式把它的每一项表示好,是3的2次方乘以C52乘以X的103+4R次方.

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假设T加一项的系数是最大的,于是七七加一项的系数应该大于TI项的系数,要大于TR加二项系数,所以得到我们如下的两个不等式,把它们的系数拿出来做一个比较,形成一个不等式树.

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既然使用组合数公式,把它们化简分别化简,然后解除,结果为R大于等于72,小于等于92.

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因为R是从零取到五的,所以只能取四,最终我们确认在其展开式中,系数最大项应该是第五项..

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经整理计算得到405倍的X的四分之六次方,这个问题系数最大与二三上系数最大,概念有的时候是不一样的,什么时候不一样?

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所以关注我们二项中的某一项的系数是否是一.

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好,同学们,今天我们利用了二项系数的性质,研究了我们的二项式系,二项是展开中各项系数的和差,或者其他绝对值,等等结构的运算求和,那么也可以解决二项展开式中系数最大,或者二项系数巨大的问题.

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好,今天的课到结束,感谢大家收看皖新十中学校,请大家继续收看其他课堂视频.

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再见!<br />

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