{{'Please rotate your device to landscape mode' | trans: locale}}

视频 介绍

杨辉三角与二项式系数的性质(1)

本节课主要介绍了1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出.2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值,赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0、1或-1,但在解决具体问题时要灵活掌握.

00:00:00

朋友们,大家好,欢迎大家来到宛心十分钟学校,我是林飞老师。

00:00:12

今天给大家带来的是第一张的技术原理,13杨辉三角与二项系数的性质,首先我们来看一下A加B的括号,N次方的展开式的二项式系数,当N取正落实,我们可以把它们表示成这么一个模样,如果N取一二项系数分别是11N取二,二项系数分别是121,也就是说C20CIEC二二,那么ECT3次方四次方五五次方六次方,分别得到他们各自的on系数,把它们排成一行,那么我们通过这个表格,大家可以看到一些简单的数的规律,第一个,在同一行中,每一行两端都是一,这是明显的特点,与这两个一等距离的像,二项系数是相等的,比如说去五的话,两端都是一那么与的等距离,第二位和倒数第二位都是前所,第三位,倒数第三位都是,第二条在相邻的两行中,除一以外的每一个数,都等于它的肩上的两个数,的和,比如说十,他就等于他在街上四和六的和,再比如说15,它就等于它的阶乘两个数,十和五的和,那么这个表格我们通常把它称为叫做杨辉三角,计算每一行的系数和我们又能看到一种规律,分别是二四八十六,三十二六十,那么显然可以归纳出其系数和为二的N次方,也就是说A加B的N次方级展开式的每一项的,二项系数和就是二的N次方,所以这个结论是否正确,我们后面用方法来证明,第三个,二项系数的最大值有什么规律呢,通过刚才我们阳萎三年的表格,可以看到两端都是一,越往中间去,数字越变大,所以我们可以看出,当N取二是六的时候,中间的一项是最大的,去三五的时候,中间的两项最大,也就是说二项系数的最大值,会落在中间的一项,或中间的两项之中,那么杨三角的特征我们可以归纳出,DE在同一行中,每行两端都是一,与这两个一等距离的向的二项,系数相等。

00:03:10

第二,在相邻的两行中,除以以外的每个数,都等于他肩上的两个数的和,其实我们可以发现这两个特点,也就是二项二项式系数我们前面的组合数中的,两个性质,这个性质就是cn,M等于CN减M这个性质就是CN加一等于,cn R减一加上CN2也就是前面的组合的,两个基本性质,第一个,非中性与手摸,首末两端等距离的两个二项需要,相等,走这个性质的体现,第二个增减性和最大值,我们通过CK用组合数的定义,它的公式摆成N连成了N减K加一除以,K减一的阶乘乘以K也就是cat节省吗,然后把我们这个是变形,留下N减K加一和K这样前面是N连乘到N减,K加二分母,是K减一的阶乘,那么它们正好是cn K减一,这样我们它CNK是展开示数的第K加一项,cn K减一是展开式的dk性,那么要比较一个展开式中各项的增减性,我们只需要比较它的相邻项的变化问题,所以可以看出如果K分之N减K加一大于一的,话,也就是K小于二分之N加一,此时我们应该有CNK大于CNK减一,那就是说CNK它的二项系数是逐渐增大,反过来当K分之N减K加一小于一,就应该出现,K大于二分之N加一的时候应该出现,CNK小于CNK加一,那就是说有后半部分是逐渐减小的,这样我们可以看到一个二项式的展开是它的二,项系数的变化是先增加,然后再逐渐减小,具体来说,如果N是偶数,因为展开式奇数项,所以中间的一项应该取得最大值,如果N是奇数展开应该是偶数项,所以中间应该是两项,也就是cn121和cn2分之N加一这两项,的二项小A相等,学到最大是。

00:06:02

第三个,二项系数的和,刚才我们通过圆三角已经发现,结果应该是二的,N次方就是二的N次方等于C0加cn,一加cn1直加到cn,那么这个结论其实我们可以用一个赋值法,通过一加X阔N次方的二项展开,C0加cn,一乘以X1直加到CN乘以XN次方,在这个展开式中,我们只要取X等于1,这就是所谓的赋值法,就可以看到左端为二的N次方,又端X全部变为,一,可以不写,还剩下每一项的二项系数,C0C1C21到cn,因此我们说一个二项是A加B的括号,N次方它的展开式的二项系数的总和,应该就是,二的N次方,刚才我们看到了两回三角,以及二项系数的几个简单的性质,那么现在我们通过这么一个元三角中,解决一个,小问题,从一开始建德所指的数组成一个锯齿形的数列,123364,15,把它们记为前N项和为SN求X16的值,也就说求前16个数的和,那么我们大家可以发现这个数的规律,每一行两个数,而且第一个数都应该是每一行的第二个,然后第二个数都是每一行的第三个,所以比如说二合一,我们可以把它表示成多少呢,他这一行的数应该是N去二来的,所以应该有C20C二一C22,而这一行N取三来的,所以应该是C30C三一C32C三四,所以我们可以把这些数先用组合数来表示,那么一共要表示多少。

00:08:17

行,现在,第一个第一组的两个数一和二,是恩取二的,那么一共是前16个数,所以应该有八组,每组两个,这样我们将可以看到最后一组,应该落在N等于,9的时候,也就这样形成一个写法,第一行二一可以分别写成C2E加C2,第二行的三三可以分别写成C3E加C3,同理,第三行的六四可以写成C4E加C12,依次类推,一直写到最后的第15和16个数,也就是说C角一加上C角二,那么我们只需要把这些数计算它的核即可。

00:09:08

如何来计算呢,显然我们如果用直接用组合数公式是可以算出,它们的,但因为数字过多,所以我们应该充分利用二项系数的性质来帮助,简便计算,大家可以发现,每个括号内的被加速C2C3C十二一直到C,级二是符合我们前面的一个性质,它的加数C21C31CCU倒C角E分别,就是2341直到九,所以我们可以把它的被加速合成一块加速,何等愉快,这也就是以前我们学过的数列求和的拆项求和,法,那么同时我们要把CR变成C3,因为它都是一,这样C33加上C3,符合我们前面组合出的第,二个性质,所以应该可以合乘,C43C43再加上C12,又可以继续和城C53,C53再和C52G荷城C63依次类推和到,最后C93加上C92结果C13,我们当然加入二道酒可以用等差数列求和公式,可以做,所以最终是C13+82乘以括号,2+9,结果是164。

00:10:46

好,同学们,今天我们通过观察杨辉三角,发现了二项系数的性质,其两条很重要,第一除以外,我们可以发现,与到一两端等距离的两项的二项,系数相等,第二,我们在发现,从一开始他的二氧细胞是不断增加,然后在减小,所以得到二项系数在中间的一项或两项最大,那么还有一条重要的性质,也就是我们元三角的各种规律,其实还有比如说我们可以看他的鞋行,也能看出很多数的规律。

00:11:27

好,感谢大家收看婉欣十分的学校,欢迎大家继续收看其他课程视频,再见。<br />

相关视频