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视频 介绍

数列章节复习2

本节课主要介绍了在数列问题中,通过转化与化归思想解出数列通项公式.

明军 周

教师 合肥32中中学一级教师,市综合素质大赛二等奖。

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00:00:00

大家好,欢迎来到惋惜十分钟学校,我是数学老师周老师。

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上一节课,我们从方程的角度来研究了方程思想,在解决数列问题中的应用,今天这节课我们继续讨论其它问题,如何用转化与划归的思想,来求数列的通项转化,和划归在求数列通项中的应用,其实我们在前面求数列通项的方法的时,候也介绍了,由计提公式求通项公式,要求掌握的方法,有两种,一种是先找出数列的前几项,通过观察归纳得出这个数列的通项公式,然后再去证明这个通项公式是正确的,另一种是通过变形转化为等差数列,或者等比数列,在采用等差和等比的公式去求解,相关的通项公式,我们今天所讲的转化,主要是用在后面这种方法,去把已知条件进行变形,转化成新的一个数列,这种前N项和转化成一个新的数列,通项公式的形式,或者是满足这个等差或者等比的定义,再去根据等差和等比数列的通项公式去求解。

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下面我们来看一个例题,在数列N中,SN加一等于4倍,N加二,A1等于1。

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好,这里有两个条件,一是手相,还有一个这里是N和SN加一的,一个关系式,第一个问题,他给了一个CN等于2N分之N其实就是构造,一个新的数列cn,让我们去证明这个数列cn,是一个等差数列。

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好,要证明cn是一个等差数列,我们根据这个题目的条件,如果能把N求出来带进去,把CN的表达式给算出来,然后再用等差数列的定义,后一项与前一项的差是一个常数,这样我就可以说明cn是一个等差数列了。

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好,如何由这个条件去求,N呢。

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我们在前面通项公式的求法里面,专门讲过这种形式,就是已知条件给的是S和N的,这样一个递推公式,然后如何去求这个IN我们是写出两项,然后相减消去SN让他剩下的都是N和N加一,或者N加一和N和N减一这样连续的两项一个,表达式。

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好,我们来看一下,首先由已知条件,当N大于等于2的时候,我把N全部换成11,这里的换成一减以后就是SN了,这个时候这两个式子如果做差的话,大家发现SN和SN加一,用SN加一减去SN,以后就是AN加一,而后面一减,把常数二减掉了,就是四倍N减去四倍的N减一,这样我得到N数列的,连续两项的一个具体公式,下面的处理方法可能有不同的思考了,也可以用这个地底公式直接把它进行变形,变成这种形式,这里要注意观察与条件,要看到之间的联系,你想N下面的分分母是二的,N次幂,这个是IN加一,下面的分母就应该是,二的,N加一次幂,我就要考虑如果在这个等式两边同时除以二的,N加一次幂,这样可能把这种形式,全部化成cn的一种关系是。

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好,这是一种思考,还有一种思考,我把这个式子直接进行变形,因为这里有连续的三相的关系,我可以把连续两项关系放在一块,我就这里把I4倍N分成两部分,我分两个人到前面去和它合并,再留两个音和后面再合并,这样也可以看成是一个新的数列的连续脸向。

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好,下面我们先看刚才的第一种思路,我对这个式子直接变形,刚才我们讲两边,应该除以二的N加一次方,这样左边大家看到跟那个式子,CN一就是CN加一,右边这一项就是cn,而这一项就是CN减一,把这个事再稍微变换,把这一项移到这,移到前面去,得到这个式子也就达到了,CN加一加上CN减一,等于2倍CN我们能看到R这个式子,它是连续三项,他都满足什么条件呢,第一项和第三项,也就首尾两项的和,等于中间一项的二倍,正好是我们所讲的等差数列中的等差中项,连续三项都满足等差中项,说明这个数列它是等差数列。

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好,这样这是一种思考的方法,还有一种思考方法,刚才我们讲了,我可以不去两边除以二的,N加一次方直接对已知条件进行变化,我把刚才的四四边音以两个AA放到前面去,后面两个放在后面以后,提取二出来以后就得到这样,这个时候大家注意观察一下,这里这一项和这一项,其实又是一个新的数列的连续两项,当把N换成N减一的时候,大家看正好就是对象,前面就换了N了,为了方便,这个时候你也可以设数列叫病,这样bn大家可以看到,他是以首项是A22倍A1代进去计算,AA我可以用刚才已知条件算出来,带进去计算以后,我算出这个首相是三,儿工笔从这里能看到事儿,这样我就得到新的数列,是一个首项为三公比为,二的等比数列。

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好,我先把它的通项公式可以写出来,那bn等于3×2的N减一次幂,下面我可以直接去检验这个cn,是不是等差数列,我就用CN加一去减去C雨后一项减千一项,我看他差是不是一个常数。

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好,CNN是二的N次方分之N,那CN加一就应该,是二的,N加一次方是N加一这两项做差,同分一下,就是二的N加一次方分之N加一减去,分子分母乘以22倍N这一项分子正好就是,我们所讲的BM,那边同样公式已经求出来了,我带进去,这整理一下,大家可以发现正好是34,他是一个允无关的常数,等根据等差数列的定义,我就知道这时候CI是等差数列,并且我们从这样求法中,可以直接看到它的供差,就是34。

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好,这是第一个问题,那么二个问题,第二个问题在求解,我先应该把N给求出来,根据上面一个条件,我可以先求cm,C1是2的1次方分之A也就是12,结合刚才一的条件,我知道这个cn也就是二的N次方零,它是以首项为12,工差为34的等差数列,那我就可以写出它的通项公式,首项加上N减一倍的公差整理一下,就等于4分之3N减14,如果再写N的话,只要把分母二的N次面两边同乘就可以了。

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好,这样,同城以后我写出N整理,以后等于3N减一倍的,二的N减二次幂。

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好,N通项公式写出来以后,后面的问题就好办了,那么SN写出来,SN它等于第一项是3N减一就是3×11,就是31乘以这个二的12次方,就是2的1次方,第二项就H2的时候就是3×21再乘以2的,0次方,如此下去,最后一项是3N减1×2的N减二次方。

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好,这是N的前项和,大家发现了这个数列它有两部分构成,它的两部分,前面一部分,3N减一是一个等差数列,后面二的N减一次方,是一个等比数列求等差和,等比定向乘积这样一个新的数列的前项和,我们使用的方法是错位相减法,错位相减法,我们要在原来SA2边,同时乘以等比数列的公比,也就是在我这提要乘以二。

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好,乘以二以后,然后这一项我把二都跟后面的等比部分,成这一项乘二就变成二的零次面,我们写的时候通常把这一项和这一项对齐,把这一项和我们上面的这一项对齐,大家看到林茨和林茨对齐,注意和最后一项对齐的,应该是他一项前面一项,那么这一项应该放在后面,我们这里没有对齐,空间有限。

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好,然后我们就可以把两式相减了,我们把这其中一个式子,减去我们上面减下面,这一剪等于负,SN右边这一项就单独放在一起,相当于前面有个零,如果对错位相减的不太熟悉的同学,可以看到前面前一项求和,一种内结去考虑一下,这一项单独带下来,然后这两项一减,大家看到后面二的零次幂都是一样,前面这两项一减正好是三,后面定向的减都是三,我把三提到前面去,最后也是最后一项,把三提到前面就剩下了二的N极二次幂,还有上面看出来是一个零减去这一项,所以这里应该是负负,中间这一部分,我可以用等比数列的前N项和,公式进行计算,一减Q分之首相首相,这个就是一了乘以一减Q的N减一次方,因为这里只有N减一项,在错位相减法那里,我们说中间对齐的是N减一项。

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好,然后我们把这个式子整理一下,就得到负2+43N倍的二的N减一次方,一定要注意,我们算出来往往不一定是sen,我们还要除以前面的系数,我们这一题系数是1,所以我等式两边同时除以1,就能求出SN了,这除以1变成正的这一项除以1以后,把这个负号乘到这里面来,写成3N减四倍的二的N减一次幂。

00:12:10

好,这我们就用错位相减法求出了,IN数列的前N项和。

00:12:20

好,今天这节课我们讨论了转化与化归法,在数列问题中的应用。

00:12:26

好,感谢大家收看,欢迎继续收看惋惜十分钟学校的其他课程。<br />

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