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视频 介绍

数列前n项和的求法4

本节课主要介绍了数列求和问题中有一类较复杂的求和,要对正整数n分奇数和偶数情形进行讨论并举例说明。

明军 周

教师 合肥32中中学一级教师,市综合素质大赛二等奖。

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大家好,欢迎来到皖新十分钟学校,我是数学老师周老师,前面我们学习了求数列前N项和的几种方法,今天我们继续来学习一种新的方法,分九项求和。

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好,数列求和问题中有一类叫复杂的求和,要对正整数N分奇数和偶数的情形进行讨论,下面我们从几个例子来看一下,第一种情况是相邻两项符号相应,比如说这样一个例题,叫我们求SN等于15+913,如此下去,那么后面这个是一个数列的前N项的和这个,数列,大家可以看到通项公式是1的N减一次方,乘4,N减三,怎么样求这样一个数列的前项和,显然它不能用我们前面学习过的等差数列或者,等比数列的求和方法来进行求和,但我们注意到这个数列有一个特点,它相邻两项符号都是狭者易的,你看第一项证一第二项5,第三项又是正九,第四项13,后面一次都是正负交替的,他满足我们刚才讲的这种情形,就是相邻两项符号相依,我们又注意到,如果把符号相应的相邻两项结合在一起的话,比如说把一二两项放在一起,正好和三四两项以及后面的相邻的五六两项,放在一起,它的结果是相等的,考虑到这些特点,我们在求数列和的时候,就可以把两项两项结合,起来来求和,当N是偶数的时候,正好上面能够分成一对一。

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对<br />,正好能分成整数,对,第一二两项作为一对三四两项作为对最后两项,最后一项大家知道是负N是偶数了,N减一就应该是奇数,最后一项应该是付的是付4N减三,它的前项是正4N减七,这样正好组成了二分之N对,娜美对的和刚才我们讲每队都是4,所以它的结果就是4乘2分之N结果就等于2,N好,这是N是偶数的情况。

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如果N是奇数,它不能正好配对,那这个时候该怎么去考虑,我们想如果我去掉一项,比如说我把第一项或者把最后一项去掉,剩下的仍然是偶数,它也可以正好配对。

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好,按照这种思路,我们仍然把一二两项放在一块,最后我们把最后一项单独看,当N是奇数的时候,N减一就是偶数,最后一项不再是负的,应该是正4N加三,它前面两项分别是4N减11和4N减七,这样去掉最后一项,剩下的正好是偶数项又可以配对了,剩下还有二分之N减一,对每对仍然是4,它的结果仍然4,二分之N减一,对,由二分之N减一个4,再加上最后一项4N减三,这样运算的结果就是RN减一,由这一题的求解,大家发现当N取偶数和N为奇数的时候,它两个计算的结果是不一样的,所以对于这样一类数列的求和问题,我们要分N为奇数和偶数两种情况来分别考虑。

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好,这是第一种情况,相邻两项符号相应,第二种题型就是相邻两项之和为常数,比如说已知数列N中A1等于2,AN加N加一等于1,这相邻两项的和是一,叫我们求数列的前N项的和SN这个数列的前,项和SN满足这样一个条件,相邻两项和为一,如果正好这个数列是偶数项的话,它正好能两相两相结合在一块,那都是一了,假如是奇数,我们又要像刚才利益那种处理方法,应该把第一项或者把最后一项考虑单独看,我们这一题因为已知的是首相,所以我们要是单独看的话,我们会把第一项单独看。

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好,按照这种思路我们来看一下他的解答,当N是偶数的时候,SN也就是从A11直加到N我可以把A1和,A2A三和S如此,最后一对是an减一和NR分别成对来考虑,每一对它的和都是一根据这条件,那就有二分之N个一,所以它的计算结果就是二分之N,好,这是N为偶数的情况比较容易考虑,当N是奇数的时候,这个时候我们刚才说应该把A1单独看,去掉一项以后剩下又有偶数项,那么这偶数项又可以成对的去考虑了,这时候我把第二项和第三项放在一起,后面一次第四项和第五项,最后仍然是N减一和N向。

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好,这样我们要知道第一项二,大家把一成带下来,就行了,后面还有多少个这样一对一对,N本来是奇数,剩下去掉一项应该是N减项再除以二,所以有二分之N减一个,这样一对一对每一对都是一,那就是二分之N减1×1,计算一下结果是二分之N加三。

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好,这就是第二种情况,相邻两项之和为常数,下面大家再看第三种情形,是相邻两项相见,两项之差为常数,这时候不是相邻的两项了,他是进隔两项,比如说第一项和第三项,第二项和第四项,这样相间隔的两项之差为常数,这种情况应该怎么去考虑它的求和问题呢?大家看这样一个例题,已知数列an中,A1等于1,A2等于4,an等于N减2+2,这里AN和N减二是相间的两项,它不是连续连向,中间呢个揽枕安检一项,号间隔两项,这中间他还看不出来是差,如果把这项移过去,那就满足这个条件了,它的差你看N减去N减二等于2,那叫我们求数列的前N项的和,要抓住这样一个条件,我下面要考虑这个数列,到底是由奇数项,还是有偶数项,如果正好是偶数项,这个时候它偶数第一项第三项,这样技术项有多少项,偶像有多少项正好是相等的。

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对吧,如果是奇数项的时候,假如N是奇数,那么这个时候他的技术上一定比偶数项,要多一项,那又该怎么去考虑。

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好,下面大家看一下,根据题目把已知条件变形,把N减二移过去,得到相见两项的差等于2,然后我们发现既然间隔两项差是二的话,那么A1A3A5到A2N减一,这是等差数列,也就它所有的奇数项依次构成等差数列,A2A41直到IN就是所有的偶数项依次也,构成等差数列,且公差都是二,下面我们就要来考虑,N如果是奇数的话,我把N写出来,N是奇数的话,大家知道奇数相乘等差数列它的首项是A1,那首项是AA1乘以N减一,D工差是二,那N减一,这时候有多少个奇数项呢,应该是二分之N加一项有这么多个奇数项,再减一再乘以工厂,这是用等差数列的通项公式,我们写出了N好经过计算N就等于N,这是N为,奇数的情况,同样的办法,我们可以把N为偶数的情况,这个通项公式仍然用等差数列的通项公式,把它,写出来,这个时候大家注意它的首项是A2A24加上,他的项数应该正好是二分之N,这个时候这里是,RN它的像素正好是02,再减一乘以公差二,结果偶数项,它的通项公式是N加二。

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好,这样我们把偶数项和奇数项的通项公式,写出来了,下面再求和的时候就好办了,这两项大家又发现正好能够合并起来,N可以看成是N加上1加1,而N加二可以看成是N加上一加正一,所以合并以后我可以把它写成N加上1加上1,的N次方,合并来表示以后,我就不再要考虑N是奇数和偶数,可以完全用这一个式子来进行表示,表达上要简洁不少,下面我们就来看他求和问题,当N是奇数的时候,那SN从这个表达式大家可以看到,SN它前面一项就N那就是从一加到N而后面,大家注意到都有个一,然后后面是1的N次方1的N次方,注意它奇数N是奇数的话,最后一个数是应该是负的,这样一来我们带入这个计算公式,就是二分之N减1×2R结果等于,2分之N乘,N加一再加上N减一,好整理过后得到这是N为奇数的情况,如果N是偶数,前面仍然是一样的,那么仍然有从一加到N这样N个数,和后面只有,二分之N对了,所以说二分之N乘以二,结果就是二分之N乘N加一加N,好,这是第三种情况。

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就是间隔两项不是间隔,两项应该是相见两相它的差为常数,那求解这类问题的时候,从刚才例题中大家体会一下,他的思路是考虑N为奇数和N为偶数,把通项公式写出来,然后写出同样公式以后,再分N为奇数和偶数的情况来考虑前N项和,公式,相同点,无论是N是奇数还是偶数的时候,它既然是相见两项的和为常数,它的奇数项和偶数项,依次都构成一个等差数列。

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好,这是第三种情况,那么还有一种情况是相间两项之比为常数,这种情况在计算的时候和刚才例三的计算非常,的接近,我们在这里就不再举例说明。

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好,今天我们又分析了一种求数列前N项和的方法,就是分奇偶相来求数列的前N项和我们分别,考虑了四种情况,有相邻两项一号的有相邻两项和为常数的,还有相见两项的差为常数和相近两项的比,为常数的情况。

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好,感谢大家收看,欢迎继续收看晚间十分钟学校的其他课程。<br />

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