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视频 介绍

数列前n项和的求法3

本节课主要介绍了数列前n项和的求法——错位相减法的方法解释和应用举例。

明军 周

教师 合肥32中中学一级教师,市综合素质大赛二等奖。

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大家好,欢迎来到皖新十分钟学校,我是数学老师周老师。

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前面我们学习了两种数列求和的方法,一种是分组求和法,还有一种我们叫列项法,那么今天我们继续学习数列求和的方法,叫错位相减法。

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错位相减法是怎么一种求和的方法,下面我们来看一下解释,若数列N是等差数列数列bn是等比数列,由这两个数列的对应项乘积,组成的这样一个新的数列,我们叫NBA这样一个新的数列,当求该数列的前N项和时,常常将这个数列的,各项乘以公比Q然后错一位与原来他的青云,相合,我们给他错一位方,这样同次相对其两式相减,及可转化为特殊数列,的求和,所以这种数列求和的方法,我们称为错位相减法,在这种方法中大家需要注意的是错位相减法,它只适用于这样一种数列,这个数列中的每一项,它正好分别由两部分构成,是等差和等比的乘积的形式满足这样一种形式,那么他在求和的时候,我们常常用错位相减的方法去求,下面我们来通过一个例子,体会一下错位相减法,的操作。

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数列AN满足这样一个条件,大家看这个条件是从A1一直到NN,这样一个,独枕是R它等于3分之N,第一个问题叫我们求,N的通项公式,第二个问题求bn新的数列了,它的前项和要,解决第二问题,当然我们首先要把N的通项公式求出来,求N的通项公式,大家观察已知条件,这个条件里面,N在最后一项出现了,在这个位置出现了,如果我能把它前面的全部去掉,剩下这一项,然后再除以这一项的系数,这样我就得到了AN的表达式,前面所有项加在一块,也就是从A1+3倍,二加3的平方分之R3的平方倍的A31直加,这个时候加到他前面那一项是多少呢。

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好,大家看到他前面一项,应该是三的N减二次米,再乘以A的N减一,也就这个指数比这个指数要小于下标,比后面下标也要小于一,那这样一来,我把前面,从这里开始一直到这里,全部减去,剩下的部分就是关于an的一个表达式了,这样我就可以求出AN的通项公式。

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好,下面我们来看一下这种方法的解答,首先根据这个式子,然后写出它前面到N减一,这样一个表达式,当然要求N要大于等于2了,因为这个N取一是没有意义的,这个时候我从A1加到刚才的到前面一项,后面N也要变到N减一了,因为整体少了一项。

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好,这个时候我把这两个是做叉,我把这事比较做,一是下面这事标到20,我用1020就把前面全剪了,就剩下最后这一项三的N减一次方,再乘以N,后面就是三分之N减去三分之N减一,这两个的差正好是13,我要想求N只要把系数三的N减一次方,给它除到等式的右边来就可以了。

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好,下面出到右边来以后,N就等于三的N次方分之一。

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好,这样我完成了第一个任务,IN这个表达式我们求出来了,那么对于第二个问题,我先要把BM的表达式要写好,把刚才求出来的AA大家还要注意一点,因为这两个式子,第二个式子有范围要求N,是大于等于2的,对于N等于1,我们往往还要再验证一下,我在原来这个式子中我连N等于1,这个时候得到A1等于13,大家看到这个时候,它也满足这样一个表达式,在这个表达式中,第N等于A1正好也是13,所以我就可以用所有的从第一项开始,N都可以用这一个表达式3N分之一来表示。

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好,下面我们看第二个问题,首先把an等于三的N次方分之一,带到下面来,就得到BN等于N乘以三的N次方,观察新的数列,大家发现它有两部分构成,它的第一部分是NN随着这个变化以后,大家它形成一个等差数列,后面是三的N次方,随着N的变化,它是一个等比数列,所以变得每一项都是由,等差的每一项和等比的,每项对应相乘得到的这样一个数列。

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好,这个时候求它的同样公式,求它的前N项和公式,我们使用的方法就叫错位相减法怎么去书写,大家看一下下面在书写的时候,错位相减法需要,注意的,首先我把SN写出来,就B1B就是H1就是1×3的一次幂,加上B2就是2×3的二次幂,再加上B三三×3的三次幂一直加,加到BN就是N乘以三的X米,然后在这等式两边同时乘以等比数列的公比,注意两边乘以等比数列公比,我这其中等比数列的公比是三,所以我在这个式子两边乘以三乘以三以后,左边是三倍的SN右边我们在写的时候,尽量,注意一下,我把这个三都乘到每一项的等比数列,这一部分来,也就是第一项,我把三承载这一部分,那三的一次幂再乘一个三就变成32次面,写的时候,我把这一项往后错一位,让同指数相同的这一部分对齐,这样前面就空了一位了,空一位也不影响我们解答,R同样第二项我也要乘一个三三,我仍然跟后面等比,这一项对乘上就变成三的三次幂,我跟上一个式子三的三次幂进行对齐,前面仍然不动,需要注意的是,大家想和上市最后一项对齐的,应该是哪一项变来的,他是由上面这个式子的倒数,第二项乘以三以后,变来的,上市的倒数第二项,首先我要知道前面一个数是多少,根据刚才前面N的变化规律,它前面一个数一定比这N小一,所以是N减一,下面我要知道他前面一项的,后面一部分是三的,N减一次幂,三等于减一次米五,再乘以个三就达到三的N次幂,所以把这两项,对其最后还有这一项它乘以三,以后我们写到后面来,这个三同样我也称在后面,那前面N不动这一项,再乘以个三就变成了三的,N加一次幂。

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好,这个过程对于,我们能否顺利地用错位相减法求,出这个数列的前N项和具有很重要的意义,所以大家在写的时候尽量注意一下,使得指数相同的部分第一项对齐了。

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好,下面大家想如果我把这两个式子作差的话,用上面一剪下面的话,这些像两两都可以合并,你比如说这一项一减的话,两个3的平方减去一个3的平方,那就剩一个了,同样后面这是三个3的3次方,减去两个3的3次方,那就等于1个3的3次方,最后一项也是这样,N个三等一次方减去N减一个31次方,它也剩下三的N减一次方剩下一个。

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好,所以这一块正好,能够相减以后能够合并,那么下面我们把这两个是相减,减完以后大家体会一下,我用三是简,刚才这一步我们讲错位强调了一下,讲完以后大家注意体会一下,我们在剪的时候这一项它和下面哪个减,我可以看作前面有一项是零,可以看到这里相当于一个零,那么零加上后面这一部分,他就和零对齐减上面,这个数字往往到下面一步运算的时候,直接把它算出来了,这是一算出来是三,所以结果直接就算出,就是三三就是零,它减去零达到的下面每项对其简单,刚才我都叙述了这一项,对其假设一个三的平方,后面一次是三三次方,最后到这里是三的N次方也就这一部分,是两是对应的部分相减得到的,最后还要注意的是这一项,上面没有了,我也想像上面有一个零,那么正好减去后面这一项,所以这项的符号大家要特别注意,它是负的,减去这一项,这项符号变了,如果本来是负的,这时候在一减就变成正的了,所以注意最后一项的符号变化。

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好,这样讲完以后,我如果能很轻松的,把后面等式右边代数式的值,能够进行化简或者求解的话,最后SN我就可以求出来了,通过这样错位讲完以后,大家发现中间一部分一定是一个等比数列,中间一部分一定是个等比数列,我们要注意观察一下中间一共有多少项,本来这个式子是由,N项和那错开一位这一项,对不起了,所以只有N减一项是对齐的,所以这里有N减一项,中间的N减一项,通过这个相减,我们能够体会到他肯定是一个,等比数列的N减项的和,也有些时候把前面这一项加上也行,也能够等比数列,我们这一题就可以把三也变到一起来,那么这N项都是都满足一个,等比数列的前一项的和,所以我可以用等比数列前一项求和公式,一减Q分之A1括号一减Q的N次方,最后把这一项带下来,然后我们在这两边就要同时除以这个系数,2就可以把SN求出来了。

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好,这是,最后一步,我要在这个式子两边同时除以2,整理一下,这个表达式就达到了,这就是用错位相减法求数列的前N项和。

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好,今天我们探究了用错位相减法,去求一个数列的,前一项和,再用错位相减法,求数列和的之前,大家应该要去观察一下,需要我们求和的数列,它一定要满足一个特点,就是它的每项其实都是有等差和等比的定义项,相乘来得到的。

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