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视频 介绍

数列前n项和的求法1

本节课主要介绍了数列前n项和的求法——分组求和法的方法解释和应用举例。

明军 周

教师 合肥32中中学一级教师,市综合素质大赛二等奖。

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大家好,欢迎来到惋惜十分钟学校,我是数学老师周老师.

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前面我们研究了数列的通项公式的求法,那么在数列这一部分还有一个大的内容,就是前N项和求法.

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那么今天这节课我们就来研究这个问题,数列前N项和的求法.

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今天我们先介绍分组求和法,什么是分组求和法?

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我们来看一下,如果一个数列,N它的通项AN是关于N的一个独枕式,或分式根式或者其他形式的一种函数.

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当我们遇到最多的可能都是一种独枕式的形式,这个数列的和我们又不能直接运用等差或者等比数列,以及我们常见的求和公式来进行求解,这个时候我们可以采用化整为零,也就把这个通项NR给它分成两部分或者三部分.

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然后把对应的每一部分在一块相加来求和,各个局部这样的数学思想,将数列的通项经过适当变形进行分解,使之化简为能够运用公式法进行求解的这样的基本数列求和问题,从而使这个问题霍姐,这种方法我们通常叫做分组求和法.

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那么分组我们常见的通常就分为两组,最多的三组,这就往往都能解决问题了,而分组以后往往使得每一组成等差或者成等比,这样我们或者他压根内阻就是个常数,这样分别把每一组的和求出来以后,再加到一起来,就得到我们数列的前N项和.

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好,这就是分组求和的他的方法,下面我们通过例题来体会一下,来看这样一个例题.

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数列原因中A1等于3,AN加N减一等于加上二,N减一等于0,这里其实给的也是连续两项的这样一个地理关系是,这个关系式.

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我们怎么根据这个关系,怎么样去求它的前N项和,当然这个问题之前还有两个过渡问题.

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首先题目让我求A2和A3的值,先解决这个问题比较轻松,要求A2的话,大家想,我只要在这个表达式中间,N等于2,这一项是A2,这一项是A1,这个是个常数了.

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把A1带进去就求出A2,然后在0N等于3,我这个是I3,后面是L和常数,我就能把I3U求出来.

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好,这是第一个问题,根据他我们来先看LA2把这个都移过来,R等于负的A1再减去N12的时候减去四,再加一等于6,同样的方法是A3,我们能够求出来它等于1.

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好,这个我们就不在这里细看,下面我们看第二个问题,他就你证明这个数列加上N以后,就N加N新的数列是个等比数列,并求N的通项.

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如果它是一个等比数列,我们通常情况下是先把它的通项求出来,然后把N1项到等式右边,从而得到an的通项.

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好,根据这种思想,我们怎么样求他呢?

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这个其实就划归到我们前面所讲的求通项的方法,也就是我们前面所讲的叫待定系数法去求通项.

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好,根据这个式子进行变化,它可以变化成这种形式,AN加N后面是N减一,在加N减一,注意它就是把这里的RN减一给它拆成两项,是N和N减一,乘两项以后,我把N和前面的一项放在一起.

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N减一和后面这一项放在一起,此时大家看到这里的这一组和正好是一个数列的连续两项.

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哪个数列?

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我们能看到这里事,AN加N这个数列,他是这一项的前一项,是N减一加上N减一.

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好,当然我可以把它移过来,再变一下,变化一下.

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变化的让我们更容易看出来,变化的这种形式移过来变成负的.

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这连续两项,后一项其实就是签下的父一辈,也就是说它是公比为1的这样的一个等比数列.

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整理一下,整理成这个比例是的形式公比为1,N大于等于2,就是从第二项开始,每一项与前项的比都是一个常数,他满足等比数列的D.所以这个数他是首相首相不就是A11A1+1是四,公比是1,这样的等比数列,到这里我们把第二个问题其实就已经证明完了,他是个等比数列.

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证明完了还有个问题,我们求解要我们求N的数列的通项公式,我先把它的图像格式写出来.

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它的图像格式应该等于首项乘以Q的N减一次方,首相是四,那结果就是4乘以1的N减一次方.

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好,最后我再把N移过来,就得到了等于4乘以1的N减三再减一,好,这就解决了第二第二个小问题,求AN的通项公式.

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好,那么第三个问题,我们来看一下怎么去求他?

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让我求前N项和公式,也就这个数列它的前项和这个数列的前项和,大家看到这个数列既不是我们所熟悉的等差数列,也不是我们所熟习的吨比数列.

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所以他的求和我们不能用公式直接进行计算,但是我发现前面一部分,大家看一下,前面一部分它是一个等等比数列.

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你看工笔是1吗?

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而后面N12345往下,它是一个等差数列.

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所以如果我把这个数列倾向和每一项都给它分成前后两部分,分开的话,把切牌放在一起,把厚一本放在一起,这样分成两组.

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就能够分别求出每一组的何佳,求出它的清香和.

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好,按照这种思路,下面我们来看一下,S然后第一项N取一,那就四乘1的0次方减一,第二项H2就是四乘1的1次方减二,第三项N取三的时候就四乘1的2次方减三,最后一项.好,然后我们把前面一部分全部拿出来,大家看一下前面一部分这一项,一这一项以及最后这一项,剩下的全部放在一起,就是一123,一直到复印放在一起.

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好,这样就分成了两组,分成两组,第一组放在一块的时候,我把四提出来,那就1的0次方一直加到1的N减一次方,而后面一组把负号提出来,就是1+1直加到N.好,然后分别求和求这个和,R那么这个过程就是我们体现的叫分组,分成两组.

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这是第一组,这是第二组,再求这两部分的和第一部分整理一下,是这个表达式.

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第二部分是一到N的前项和R2分之N乘N加一,这样我们就求得了IN,这个数量我们并不熟悉的数列的前N项和,那么在分组的时候,大家要本着一个原则.

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就你分完组以后每一组的和要能容易求出,也就是往往我们分组以后,每一组要么是等差的求和或者是等比的求和,这样我才能用这种方法进行倾向和的求解.

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如果不是这样的问题,我们要注意去判断.

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好,今天这节课我们介绍了一种求和的方法,就是分组求和法在遇到我们不是我们所熟悉的等差和等比的,求和问题的时候,如果我可以把数列的每一项进行分组,然后使得对应的每一组成等差和等比的形式,我们可以通过这种方法来求出数列的牵引相和.

00:08:56

好,感谢大家收看,欢迎继续收看十分钟学校的其他课程.<br />

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