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视频 介绍

几何概型习题课

本节课主要介绍了掌握几何概型的概念.会求几何概型中的概率问题.

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大家好,欢迎收看婉欣,十分钟学校,我是数学左老师。

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前面几节课我们一起带大家学习了,几何概型,我们知道了什么是几何概型,以及如何去求几何概型中事件发生的概率,本节课继续再答,进行一些几何概型问题的相关巩固。

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首先我们来看一下什么叫几何概型,第一个定义,如果每个事件发生的概率,止于构成该事件区域,的长度面积或体积成比例,则成这样的概率模型为几何概率模型,我们称简称为几何概型,它的特点第一个无限性,在一次试验中,可能出现的结果有无限多个,这是和前面所学习的古典概型最大的区别,我们知道集古典概型它是具有有限性的,而几何概型它具有无限性,所以我们这里面几何概性事件发生的概率就,不能用前面所介绍的基本实践来进行求解。

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好,第二个,具有等可能性,每个结果发生具有等可能性,就每一个事件发生的可能性是相同的。

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好,满足这样的两个关系的概型,我们叫做古典概型几何概型,那么几何概型中事件发生的概率,我们可以用这样的一个公式来表示,用构成事件A的区域长度面积或体积,除以试验,的全部结果所构成的区域长度面积或体积。

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好,第二个问题,我们来看一下随机模拟方法,我们知道可以使用计算机或其他方式进行的,模拟实验,通过这个实验求出,随机事件的概率的近似值的,方法,就是模拟方法。

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第二个,用计算机或计算器模拟实验的方法的基本步骤,第一步用计算机或计算器产生某个范围内的,随机数,并赋予每一个随机数一定的意义,第二步,统计代表某意义的随机数的个数,大M和总的随机个数,胆,第三步计算频率FA等于,大N分之,大M作为所求概率的近似值,所以我们这里面实际上,用随机模拟的方法去求,概率,实际上是用频率来近似代替概率,所以它求出的应该是一个近似值。

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好,下面我们来看一下具体的相关的几个例题,例,如图4边形ABC D为矩形,其中AB等于根号三,bc等于E在角DAB类作射线ap,也就是以A为端点做一条射线,则射线ap与bc有公共点的概率有多少。

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好,很明显,这是一个几何概型的问题,因为在角DAB里,任作射线ap,则等可能,基本实践为角DAB里作射线ap,在这个角里做射线ap,所以它的所有等可能事件所在的区域H是角D,AB也就是角DAB的整个范围内,当射线ap与bc有公共点的时候,实际上AB是落在角CAB里面。

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好,我们可以把AC连起来,这时我们发现只要ap落在这个角的范围内,那么这时候ap与bc都有公共点,而这时候的区域我们不妨用小H来表示,小H所表示的区域实际上就是角CAB,而在,三角形ABC中,由于ABCD为矩形,因此ABC为直角三角形,其中AB是根号三,bc是一所以斜边为二,这样的话,这样的话我们可以很容易算出,角CAB是30,度,这是一个特殊的直角三角形,于是射线ap与线段bc有公共点的概率,这里面我们就可以用它们的角度比来求概率,也就是角CAB除以角,DAB角CAB是30度除以角DAB90度,结果是13,所以射线AB与线段bc有公共点的概率为,13,因此我们这道题是用角度比来代表概率的。

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好,再看一下第二个例题,如图在矩形ABC D中点A落在X轴上,点B的坐标为一零,且点C与点D在函数。

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好,这是一个分段函数,函数FX当X大于零的时候,FX为X加一,当X小于零的时候,FX为12X加一,CD都在这个函数的图像上,若在矩形ABC D内随机取一点,在词典取自途中应部分的概率等于多少,很明显,取值应部分的概率实际上,就是用面积比来代表,概率的,所以这里面我必须要求出三角形,dec的面积,以及矩形ABCD的面积。

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好,这样的话,我们首先这一题的难点就是我必须要把ABC,D这四个点的坐标都要搞清楚。

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好,我们不妨假设FX这个函数与Y轴交点为E很,明显一点,坐标为零一,而B点的坐标为一零,B点的坐标也是B点的,横坐标为一,纵坐标为零,这样的话,C点的纵坐标我可以求出来,C点的坐标为二,也就是把这里B点的横坐标一带入到FX形式,中,所以C点坐标实际上就是F1是二,从而C点的坐标就出来了,为E2,C点的坐标为一二,接下来我再推D点的坐标,D点坐标和C点坐标,它们的纵坐标是相同的,但地点的横坐标很明显是小于零的,所以我在让FX等于2,但是第二段为二,这样就可以解出D点的横坐标,这样我们可以解出D点的横坐标为二二,那只需要另付12,X加一等于2,我们就可以算出它的横坐标为2,因此地点就是2,于是三角形dec的面积我就可以写成,12乘,以1减去2,再乘以E底边是也就是一减法是三cd的长,高度就是长R是等于1,因此三角形DC的面积为32,而举行举行很明显,我们算出这个高度是二,宽度是三,所以是2×3,矩形的面积为六,这样的话,词典取自阴影部分的概率,就是三角形的面积再除以矩形的面积,也就是32÷6等于14,结果应该是选B,所以这道题实际上是用面积比,来求概率的,和我们的第一问前面的第一个例题,有所区别。

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好,再看第三个问题,已知AB属于零一的开区间,则函数FX等于X平方减去四比X加一,在区间一到正无穷左闭右开区间上,是增函数的,概率为多少,我们回顾一下,看一下这道题,在区间一到正无穷上增函数,那我这个函数因为它是关于X的二次函数,然后二次项系数为A,也就是开口向上的,二次函数,所以我要看它的对称轴,它的对称轴是2A分之4,B也就是A分之2B只要A分之二倍,小于等于,1,换句话说我这个区间,必须是我们函数FX递增,区间的一个子集,所以A分之2B要小于等于1,于是A大于等于2B换句话说,只要A大于等于B也就是满足,函数FX在一到正无穷上是单调递增的。

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好,但是AB的范围又分别属于零一,所以这里面实际上含有两个变量,所以作图的时候,我是要画出图形来解决问题。

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好,首先AB以A为,R恒组B为纵轴,建立这样一个平面直角坐标系,这样的话,AB所围成的整个区域,AB点为城区就是这样一个正方形,边长为一的正方形,要想满足函数FX1到正无穷上递增,必须I要,大于等于2,B所以这里面我做出A等于2B这样一条直线,正好是通过坐标原点的一条直线,我们会发现满足A大于等于2B的,正好就是图,中的三角形区域,所以我们可以求出这个三角形区的面积为12,×1,再乘以高度12为14,这样的话,我们这道题的概率,也是使用面积比来表示概率,的。

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好,因此所求的概率就是阴影部分的面积,三角形的面积除以正方形的面积一,答案就是14。

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好,所以这道题仍然适用面积比来表示概率,实际上在几何概型中,面积比长度比还有刚才我们讲的角度,鄙视我们经常使用的求几何概型中,概率的一些方法。

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好,本节课我们主要带大家,继续学习到几何概型中,的相关问题,这节课内容就介绍到这里。

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欢迎大家继续收看,惋惜十分钟学校的其他视频,再见。<br />

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