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视频 介绍

函数的最值与导数习题课

本节课主要介绍了求函数在闭区间上的最值步骤:1、先求函数在区间上的极值;2、求出函数在区间上的端点值,再与极值比较大小后下结论-

世鹏 王

教师 合肥七中中学一级数学教师,市综合素质大赛二等奖。

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大家好,欢迎收看晚行十分钟学校的课程,我是数学王老师。

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那么同学们在前面,我们围绕函数与导数学习了,一些单调性问题以及机制问题的处理,本节课我们将围绕函数的最值与导数来研究,一些常规的题型,那么首先看第一类题型,由函数最值确定参数的值,那么大家看到老师给出的例题,设A在三分之二到一的区间内开区间函数,FX等于X3次方减32AX平方加B注意,X我给了一个范围,在1到1的闭区间上,给了最大值是一最小值是2分之根号六,求常数A和B的值,你要想我这个函数,在1到1上又给了最值,确定,这个时候按照我们方程的思想,AB是可以定下来的,那么这个题怎么去处理,我肯定要把最大值和最小值给求出来,所以拿到题以后我就研究这个函数的最值,那么研究函数最值问题的常规方法,是先研究,极致,所以我先求导数,求完导数正好是3X平方减三,AX正好同分异,正好因式分解一下,这个时候有F1撇X,等于0发现两个尺,一个是X等于0,一个是X等于,你会发现I也在这个范围内,所以我就要把极值问题搞清楚,这里面依然采用了列表,因为研究的区间是1到1上的,必须上最值,在哪些地方取最值呢,端点处和极值点,所以我先把机制研究清楚,通过我求完导数等于0,发现有零和A两个值,所以我把零和A把区间分开,飞到零,零到AA到一,这个时候完成表格的填写,1到0,上导函数大于零,单调递增,零到A上导函数小于零,单调递减,在A到E上导函数大于零,单调递增,所以我就把单调性搞清楚了,这样我就知道零应该是,其他是这,所以就求出了极大值,F0等于B那么同理我就知道在A这点处应该,取的是极小值。

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好,这样我就把整个我的机制问题搞清楚了,我接下来因为要研究最迟,那你要知道最值是哪些值呢,极值和段电池,所以在这个题中,我要把F1和我的极值点F极,值F0以及我这个题,还有一个机制FI,包括我,F1都要进行比较,好在有我前面的单调性,我知道,因为到1到0上单调性已经有了,是单调递增的,所以这个时候单调递增的,所以这个时候我再去比较的时候我就要进行,比较。

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那么这里面比较的最基本方法是什么,你就做差,所以这个时候我只要比较,因为真的F0比F一大,然后再看A到E上又是增的,那么F1也比较大,所以我只要比较两个大的F0和F1的值,所以这个时候我就把F0和F1通过做差的,方法,正好等于32A减一,那就这部怎么来的,为什么要这样写,一定同学明白,我要比较这两个大小,有我的条件知道A是大于23的,所以这个时候它是大于零的,那说明F0大,这样我就知道FX最大值应该就是F0,那么利用F0等于B,那么又有我这个题的最大,值是一,所以B就取出来了,那么同理我就知道最小值应该比较谁,F1和FI刚才都已经求了,那么这个时候我只要带入进去,跟零比较一下,所以在这些题中大家看到,这两部应该是非常关键的,虽然我前面按照我导数求极值的常规方法,求最值的常规方法已经把极值判断好了,但是最后的最迟一定与极值和端点值要进行,比较之后才能下结论,那么这个时候我Z1比较以后,发现F1要小于,FI所以我F1更小,这样F1应该就是我这一题所给的最小值。

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好,又因为B知道了,这个时候带回去再把A给解出来,这样我就解除了A的值是三分之根号六,大家想,我们就把本题解完了,那就是已知B区间最值给我,我可以解决参数值的确定问题,那么第二类问题,求含参数的函数的最值,那么已知A为实数函数,FX等于根号X乘以X减A求FX在区间0到,2上的最小值,大家知道连续函数在闭区间上一定有最迟,但这个题注意是最小值,我要做哪些极值和端点值,那么这个时候首先要把吉只求上,那么及时的第一步求导数,那么这个时候求完导数以后,因为要判断极值,所以我要对它通分一下,二倍根号X分之3X减A,因为X大于零的时候,这个题所给的0到2这个区间上,所以我X大大于零,这样分母也就函数定义域给一下,那么接下来我要研究它的机制问题,所以我这里面就要注意了,有没有机制的问题要讨论,这就是我们在前面讲的,它的符号是决定我这个题有没有极值的,所以我要先把A小于等于0敲定,A小于等于0的时候导函数是大于零的,所以是单调递增的,那这样也就在0到2上都是增大。

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好了,0到2上都是真的,那就没有极值,但最值是有的,0到2上是真的,最小值应该就是F0,所以这个题,我们就要把A小于等于0的情况下,它的最小值计A较高了,毫无疑问,下面要做什么,肯定就A大于零的时候,A大于零的时候导函数等于0,发现只有一个极值点,三分之A现在问题是三分之A,在我0到2这个,区间上吗,因为SA是大于零的,所以三分之A肯定是大于零,比到底是大还是小,所以这题还要进行讨论,这个时候我们先讨论三分之A大于等于2,那么三分之A大于等于2,就说明AA大于等于6,那么这个时候,你会发现F1撇X小于零在0到,20是恒成立的,那就说明在我所给0到2上,它也不存在导函数值的变化,也就是符号的变化,所以它也是单调的,这个时候也就是FX在0到2上是减函数,那么是减函数的话,你就知道最小值是在二手曲,把二带回去就得到了,我这题的最小值GA的值,那么大家看到,我又考虑了A大于等于6的时候,然后我又考虑了这个函数的最小值,因为这个时候它都是单调的,所以它不存在极致的问题,就是端点值判断在哪个端点即可,毫无疑问,还有哪一种情况没讨论,那就是我们最后一种情况,当三分之A在0到2的时候,那就是A在0到6的时候,我所给的零大区间将有一个机智点,三分之A,好,通过列表法,我们发现这边是捡的,这边是增的,所以它应该是极小值,你就知道这个技巧是有可能是我的最小值,那么所以你会发现,他是先减它是后增,那说明三分之A的值比这两端点值都要小,所以三分之A处应该取得的是最小时,所以把三分之A带入进去,也就得到FX在0到20的最小值,也是在三分之H,好,这个时候我们又得到了,A在0到6的时候,我的最小值是它实际上到这个地方,我们就已经把今天这个问题,研究清楚了,所以含参函数在某个区域上最值怎么办,大家看到有三种可能,所以最后我下个结论中上值,FX最小之间有三种可能,A小于等于0的时候,单调的就是零,A大于等于6的时候,它也是单调递减的,就是在二的时候带入进去,那么在0到6的时候,发现是在极值处取的值写进去,所以大家看到解最后一滴,是一个分段函数的形式。

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好,最后我们给同学们留了一个练习,已知函数FX等于X平方一负AXA大于零,求函数在1到2上的最大值,大家看到,跟我们刚才研究的问题很相似,我们做这样的一些分析,第一个F1撇X先求出来,那么求完以后你要注意因式分解,那么因式分解之后,因为要研究大英,要研究单调性问题,所以我只要研究它的符号,那么它的符号要注意到IU大于零的,所以是开口向下的二次函数,一个是零,一个是A分之二,那就零在这儿分之二再乘,所以这个时候我就知道了,0到22是单调递增的,然后剩下的负无穷到零和A分之二到正无穷,应该都是单调递减的,这样我就把单调性给写出来了,那么单调性写出来,大家明白一个什么问题,我要在1到2上我的问题,是M分之二和E什么关系,和二什么关系,所以下面就要讨论1到2具有什么样的单调性,从而也就得到了我的最值应该怎么取,那么大家就可以用我们前面的方法加以分析,我们把后面的部部分的过程,也就留给同学们去,思考后完成。

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那么通过本节课的学习,主要带着同学们去解决了,含有参数问题的最值,的处理方法,比如说我给你最值,我能不能把参数值定下来,然后我含有参数的函数在闭区间最值怎么求,关键如何讨论,相信通过本节课的学习,我们在处理这样类似问题的时候,具备了一定的经验和方法。

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欢迎同学们继续收看,惋惜十分钟需要的后续课程,再见。<br />

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