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视频 介绍

第二章复习课

本节课主要介绍了四个公理,三个关系,三种空间角,八个定理

松 张

教师 合肥32中校团委书记,市综合素质大赛二等奖、市优质课二等奖。

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各位同学大家好,欢迎大家来到婉馨十分钟学校,我是数学张老师。

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这一讲我们将来,总结和复习一下第二部分点,线,面之间的位置关系。

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那么这一节概括起来可以讲是这样几个问题,我们借了介绍了四个公理,三类关系,三种角和八个定理,那么这里课后希望大家去回顾和复习一下,这里我重点说一下,三种角,注意线线角线面角和二面角,那么这三类角都是空间角,但是它计算有一个统一的方法,就是你先要找到它的对应的什么,平面角。

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好,先要找到对应的平面角或者是线面,通过平移先要做出与它相等的那个角,然后要去证明这是我们所要求的角,当然这个理论依据就是我们的等角定理,第三步我们要去计算这三类角,实际上相通的都是这里都一样,然后第二个希望大家要注意一下,这个地方垂直平行,垂直和平行,那么我们对于线面还是面面,我们讲它的位置关系中比较特殊的情况下,那就是平行的垂直的,那么不平行也不垂直,就是我们刚刚讲前面的三种的特殊角,就是一般的角我们就可以要求,比如说线面的时候,如果它不是垂直是相交的时候,我们可以考虑求线面角的问题,就不是垂直的问题了,当然这里有判定和性质两大类。

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好,这里具体我们来看两个例题,来解决相应的问题,第一如图在四棱锥P个ABCD中底面ABC,D是正方形测量PD垂直于底面ABC D,PD和dc相等,一是终点,PC的中点,注意EF垂直于pb,而且交pb于F点,这道题第一个要正平形,线面平行,第二个要证,线面垂直。

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好,我选择两个代表,实际上我们在以后的学习中,可能平行和垂直是最常见的两类。

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号,那么大家可以回忆一下,从药证的这个话来想要证明线面平行,我们通常的方法是什么,也就是线面平行的判定秘密,可能用定义不太方便用判定定理,那就是要纸面内找一条线和面外的线平行即可,或者讲在面临找条线跟PA平行。

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好,我们可以看一下这里对于这道题,有首先找有没有现成的,如果没有现成的,我们下面的考虑叫做辅助线,这里需要做一个辅助线,应该怎么做,因为它是中点,大家很自然可以考虑,P AC这个三角形中它是终点,我可以考虑连接AC作它的什么,焦点假设为OO点肯定也是AC的中点,一点是PC的中点,很自然,oo1是中位线,那么中位线必然会平行于另外一条边,第三条边,从而PA平行于O亿,由线线得到下面低温就结束了。

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好,第二个证明垂直,那么我们知道垂直的判定,那就这条线要垂直面内的两条相交线,按照已知条件,我们也知道有一条现成的了,EF跟pb垂直,我们再找你可能会找DE或者是df,但是我们看一下哪一个更方便,你如果要正DE垂直于pb,就是要证线线垂直,实际上我们知道也要去转化,转化成什么,线面垂直,你肯定就要正DE垂直于pb C所在的面看,个方便,如果这条路走不通,那你肯定要换一条路走,那就考虑DF垂直于pb,C好不好正,通常我们要注意都是这样的,一个有要证线线转化成斜面,这里实际上我们知道是显然可以证的,因为第一本身这是一个等腰直角三角形,DE垂直pc,而bc是垂直cd的,你想到什么BCDE是不是垂直的,我们是可以挣的,因为PD是垂直底面,他当然会垂直bc,所以bc垂直于PDC这个面,那么它会垂直于面内的一条线第一,那么第一和bc垂直,定义跟pc垂直,那么DE垂直于pb C这个面,自然他会出这面类的这条线pb。

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好,条件就照完了,所以这里简单来看一下解答第一个问题,找现我,刚刚说了,关键是连接AC交bd于O然后利用中位线,定理得到PI和EO平行,从而由线线到线面,我们讲一个面类一个面Y,好,这第一个。

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第二个证明线面垂直,我们说关键要正DE垂直pb,好了,但正DE垂直PP转化成D垂直于平面P,bc好着DEDE垂直PC怎么来的,刚刚说了等腰直角三角形,中线也是高线,那么bc垂直于PDC去整一下,就可以了,那么由一二可以得到这里的DE垂直于平面P,BC然后BPB在面内,所以DE垂直于pb,那么得到PB垂直于D1,pb又垂直EF所以pb垂直于EFD问题,结束。

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这是关于线面垂直,当然我们还有关于面面垂直的问题,这个课后大家可以再去做相应的有关的练习,平行和垂直是我们以后再证明立体几何问题中,最常见的,当然同时这里还会有其他的方法,在我们以后的学习中还会学习,比如说用空间向量来处理有关的立体几何问题。

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好,例二是关于脚的问题,这里出了三个问题,也就正好是线线夹角线面和面夹角问题。

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好,我们当然知道要求现就异面直线所成角,我们想需要去先找到它的夹角,就通过平移。

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好,我们可以看一下IO这是个正方体,能插入一,那么这里的AO和A1撇C1撇所成角,我们利用平移的话,那么知道A撇C1撇与AC是平行关系,角OAC就是线面两个线所成角,所以第一个。

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好,我们可以考虑一下,这里的利用先找到O AC是异面直线所成角,那么然后我们怎么去计算,我们讲第一步要找到,然后去证明并计算它,我们可以利用正方体的面对角线互相垂直,可以得到这里它是直角,就是OC和OB是垂直的,再加上AB是垂直于平面,bc撇就这个面的侧面,侧面,那么然后这里我可以证明,既然它垂直它的话,当然会垂直于这里的什么,面内的一条线OC是不是,这样的话我可以得到OC垂直于ob,oc又垂直于ABOC垂直于AOB实际上,这个证明的目的是为了得到角AOC,这个角是,直角,也就说oc和oa垂直,那么这样的话,我只要解直角三角形AOC,这个三角形就可以了,然后加上棱长,我可以去求一下这个角的正弦,等于OC比上,这里的AC,这是面对角线的一半,这正好是面对角线,所以这正好是12可以直接得到,赛因的角AO AC等于12,从二等于30度,也就是说这里的夹角应该是30度。

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好,那么第二个是线面角,注意我们要求的线面角是oa与平面就底面所,成的角,那么与底面所成的角,这里我们需要先做出来,这里要做一个辅助线,因为我们系的线面角的定义中,我们要在这条斜线上任意过一个点,做底面,另外一个面的垂线,所以这里过O作底面的垂线,实际上是做O作,bc的垂线就可以了,因为这个侧面是与底面垂直的,有面面垂直的性质定理,oo1肯定垂直于地面,所以O1肯定垂直于底面的,它垂直于底面,说明一是邪恶垂足,A是协祖垂足,和谐组的连线是摄影,摄影与斜线的夹角就是线面夹角,角,oa1就是线面夹角。

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好,那么这里这个角求出来之后,注意我们下面的问题是怎么求它,那么利用,因为我要求它的正切值,题目是要求求证截止,那就是OE比上,A那么利用勾股定理分别求一下,他是中位线等于它的一半12,利用勾股定理可以求出二分之根号,然后一笔就可以了,这是第二个就先要做出来,然后再去计算,或者证明计算,第三个我们需要求AOB和,AOC这两个面,这是二面角,二面角我们通常是要去做出来,但是对有一些特殊情况,比如说这道题,它有它的特殊性,因为刚刚第一问我已经挣了,这里OC是垂直于A ob的,时尚这里我们应该知道,平面A ob和平面AOC应该是垂直关系,所以这里的二面角,实际上就应该是90度,所以这里这道题比较特殊,因为我们刚刚第一问已经证了,OC是垂直AOB的,所以这两面垂直两个面垂直它二面角的平面角,就应该是90度。

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好了,这里主要我们介绍了三个空间的脚,那么这里主要是需要去第一要找到,或作出,当然对于这种特殊的情况,我们可以通过这里证明它垂直,但这里实际上也可以去做,做出来效果实际上是一样的。

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好,这一讲我们主要复习了第二章的几个重点的,知识,当然我这里取了两个例子,一个是关于平行和垂直的例子,一个是关于三个空间角的例子,课后可以大家去尝试做一下其他的练习。

00:12:24

好,感谢同学们收看惋惜十分钟学校,欢迎同学们继续收看其他的课程视频,再见。<br />

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