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视频 介绍

平面与平面垂直的判定(2)

本节课主要介绍了一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直-

松 张

教师 合肥32中校团委书记,市综合素质大赛二等奖、市优质课二等奖。

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各位同学大家好,欢迎大家来到婉馨十分钟学校,我是数学张老师。

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这一讲我们将来学习平面与平面垂直的判定,在上一节我们当时学习了二面角的定义,那么基于二面角的定义,我们可以给出下面的这样一个面面垂直的定义,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面是互相垂直的,那么这是可以用来证明,两个面垂直的一种方法,就是说我可以证明两个面所成的二面角的平面,角是直角,那么就说明两个面垂直,那么除了这个方法之外,这里大家可以去考虑,有没有其他的判断,两个面垂直的方法呢,我们日常生活中,关于面面垂直的例子有没有,当然有很多,比如说你教室里面的墙墙面相邻的墙面,我们一般都是垂直的,特别是长方体中蕴含着很多的垂直的关系,基本上它的相邻的面都是垂直的,那么我们可以根据这个问题去思考一个问,我们工人师傅在盖房子的时候,怎么样才能保证墙面和地面是垂直的呢,那么实际上如果有人到过工地,或者是在电视中观察,可能会发现它会利用这样的,有这样一个铅垂的线,他在堆砌砖块的时候,他始终保证跟这个砖块,是在一个平面,或者下一砖块所在的面,跟他始终是什么平行的一种关系,那么这样的话,它盖出来的房子,你会发现就不会出现我们的会倾斜,当然就不会出现我们的楼歪歪的现象。

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好,这里主要运用的是什么道理,我们可以去考虑一下,手上运用的也是一个,那么我们在想,按照地心引力的原理,我们知道这条线,肯定是跟水平面是垂直的关系,也就是说我们盖的房子砖,所砌的墙面,它能保证始终跟在面内或,将在与线经过这条线,所在的垂直,并且经过这条线,这样就保证了它垂直于地面,那么由这个现象,我们可以考虑它蕴含的是一个,什么样的数学道理了,也就是说如果一个平面,经过另外一个平面的,这样一个垂线,那么这个面和另外一个面应该是垂直的,那么这种猜想对不对,我们需要去证明,因为我们如果一个平面经过,另外一个平面的垂线,那么这两面互相垂直。

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好,我们把刚才的问题,转化成图形和符号语言,我们考虑一下能不能证明这两个面垂直,那么在这两个面垂直之前,我们说了,我们现在目前的方法只有一种,第一那就是说我,要做二面角的平面角,好了,这里已知AB垂直于白塔,按照我们AB胶贝塔与点BAB在阿尔法内,那么我们知道这个,肯定是经过它的相交的能的,我们还需要一条垂线,所以我们可以过B点作be垂直于CD,那么这里我们来想,首先设一下阿尔法交贝塔与,CD,我现在的关键就是要证明这个角,因为用二面角平面角的定义,角ABE就是二面角的平面角,我只要说明这个角是直角,那就能说明这两个面是垂直关系。

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好了,这里B点是在棱cd上的,那么AB垂直于贝塔,CD在白塔内,那么AB垂直于CD,这很显然的。

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好,我们讲在白塔内作过B点作,be垂直于CD,那么角ABE就是二面角的平面角,依据是二面角的定义。

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好,下面怎么证明或者怎么去计算出角,ABE是,直角,那么这里史上有一个很显然的问题,AB垂直于贝塔,那么AB史上就应该垂直白塔类,的所有的线,那也就垂直于什么,be,所以AB和be实际上是垂直关系,很自然,这个角就是直角,所以因为AB垂直白塔,而be在白塔内,所以AB垂直于be,叫线面垂直得到线线,所以二二面角的平面角是12面角,从而得到这两个面垂直。

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好,那也就我们刚刚的猜想是正确的,那么这个猜想得到的这个结论,就是我们今天要,介绍的面面垂直的判定定理,那就是一个平面过另外一个平面的垂线,则这两个面互相垂直,注意符号语言。

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好,阿尔法,A在,白塔累,然后A垂直于平面阿尔法,所以推出阿尔法垂直贝塔,简单的说就是线面垂直,得到线线垂直,实际上定理在应用起来还是比较方便的一个,平面,经过另外一个面的垂线,实际上你关键,只要在面白塔内找一条线垂直帘,外面就可以了,但是它蕴含着有一种,由线线垂直到线面再到面,面的过程。

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好,注意到这里,我们已经学完了,下面的判定面面的判定,这个过程。

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好,我们用它来处理有关问题,第一如图AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上一点不同于AB的任意一点求证,平面,P AC垂直于平面P bc。

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好,根据面垂直的判定定理,我们知道只要找这两个面中,其中一个面内的某一条线,垂直于另外一个面,问题就结束了,那就证明哪一条线垂直另外一个面了。

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好,我们先看一下,第一个,它给的最强的条件是直径,圆中直径所对的圆周角是直角,那很显然得到AC和bc垂直。

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好,这是第一个,第二还有他给了PA垂直于圆O所在的面,PA垂直于圆O所在的面,那PI肯定垂直于底面的所有线,很自然就垂直于bc,这样的话我们就可以得到bc垂直,AC bc也垂直于撇。

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好,我们可以得到bc,垂直于这个面,这个问题就结束了,bc垂直这个面经过bc的平面P bc就,垂直于平面P AC问题结束,所以这里的关键第一步要证明的是bc垂直,平面P AC因为设一下平面阿尔法,因为PA垂直它RPA垂直于bc,刚刚已经说了,然后再利用直径的性质,圆的直径,所对的圆周角是直角,从而蒸出来,这个过程我就不多说,那么然后因为bc包含于涵于平面P bc,所以得到这两个面垂直,从这到这就是我们,今天讲的面面垂直的判定力。

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好,定理应用起来,大家感觉应该还是很方便的。

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好,我们在利用他,看下面一个问题,例二如图在四人追PABCD中底面边长为A,的正方形,侧轮PD是APH根号二APC也是根号A下,第一个证明,它垂直于地面,这实际上是我们前面的内容,线面垂直的定义,那么线面垂直要证明这条线垂直面内的两条,相交线,注意它所给的量这里有现成的,AA他是这里时尚,可以证明DPD垂直于ad,和PD垂直于DC,为什么呢,因为AA这是根号A利用勾股定理的逆定理,可以直接得到,PD垂直DA同样在证明PD垂直于DC,从而PD垂直于平面ABCD,这是第一个问题。

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第二个问题,我们怎么证明这两个面垂直,我们知道证明面面垂直的关键,要证明一条线,垂直另外一个面,PAC和PBD,好,我们找一组,你可以考虑这哪一组,AC垂直于pb地或者是bd垂直于A,这好像,哪个更方便一些,因为它是正方形,很显然AC和bd对角线互相垂直,PD垂直底面,所以PD也垂直AC,所以这道题的关键是,证明AC垂直于PBD这,也是比较好挣的。

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好,这是第二个问题,第三个问题求证,二面角是45度的二面角,实际上也就证明二面角的平面角是45度,看哪个角PBC杠DP那就bc是棱,我们可以考虑一下,首先这是冷,那么上在棱上找一点,在两个面内分别坐棱的垂线,这里现现成的有一个DC和bc垂直,这是90度,PC跟bc是否垂直或者能不能挣,如果能挣,那不就脚PCD是二面角的平面角吗,再加上他是A他是这不就是45度吗,所以这里显然是可以做到的,所以第一个提示大家的是,第一个问题要利用勾股定理来证明线面垂直,第二个关键要证明AC垂直于pb弟弟,三个关键是要证明PCD是二面角的平面角。

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好,具体的我们第一个看一下过程,利用勾股定理的利定理,因为PC方等于PD方加CD方,从而得到PD和CD垂直,同理证PD垂直ad。

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好,一条线PD垂直面内的两条相交线,问题结束。

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好,第二个证明,AC垂直于pb,D我刚刚讲了,AC和bd垂直,这里不再赘述。

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第三,证明二面角的平面角是角,PCD因为我们知道pc关键RPD垂直bc,是现成的,只要证明bc和PC垂直就行了,这里要利用bc垂直于PCD来正式让bc,垂直于PC,PDC的话这都可以不用写了,我们就可以按照垂面法,PCD垂直于棱bc的这样一个面,这里角PCD就是二面角的平面角,再利用PC RPD和CD等于A知道它是,等腰直角三角形,从而得到它是45度,好了,这一讲我们主要介绍的是平面与平面的,垂直的判定,实际上平面和平面的垂直判定在应用起来的,时候相对还是比较容易的,那就是一个平面经过另外一个平面的垂线,那么这两个面互相垂直,这里体现的是一种由线线到线面,再由线面到面面这样一个关系。

00:13:00

好,感谢同学们收看婉欣十分钟学校,欢迎同学们继续收看其他课程视频,再见。<br />

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