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视频 介绍

平面与平面垂直的判定(1)

本节课主要介绍了以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面上分别引垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

松 张

教师 合肥32中校团委书记,市综合素质大赛二等奖、市优质课二等奖。

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各位同学大家好,欢迎大家来到惋惜十分钟学校,我是数学张老师,这一讲我们将来介绍平面与平面垂直的判定。

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首先大家来认识一些定义,也就是我们二面角的定义和半平面,什么是半平面,我们把平面内的一条直线,它可以把一个平面一分为二,分成两个部分,每个部分我们都叫做一个半平面,当然我们知道平面是无限延展的,那么什么叫二面角,我们说有一条直线引出的两个半平面所组成的,图形称为二面角,其中这条直线我们称为,二面角的棱儿,刚才的两个半平面称为二面角的面,那么具体二面角的画法,我们要注意,通常有两种画法,一种是平卧式的,就是我刚刚画的一种,平卧室的一种是直立式的,平卧室的可以这样画,这三种都可以,根据你的需要,还有一种是直立式的,那么直立实在话的时候,一般是保证能是竖直的方向,还有我们实际上也可以,画成这样的一种形式,也就是二面角的CAB杠D这里,AB是冷,那么这里就想出现了一个问题,我们怎么表示二面角,这是我们第三个要讲的二面角的表示,这里给大家同样的两种常规的方式,它的规则是面杠棱面中间,肯定是一个冷前后的,十面,第一个以直线L为轮椅阿尔法贝塔为半平面的,二面角,我们记作阿尔法杠L白塔的形式,但对于这里我们有的时候,也可以在半平面内,取个点,比如说在阿尔法内取个P在白塔内取Q记作P,L杠Q也是可以的,哦答案这里的棱是以一个字母来表示的,当然这里的中间的这轮也可以用两点这样的,形式来表示直线,比如说以直线AB,为能两个半半平面阿尔法,贝塔,记作阿尔法杠AB杠白塔这样一个形式,当然同样也可以在里面取两个点,分别取个点RP,ABQ的形式,这也是可以的,所以它的技法的规则要满足,那么至于其他的,那我们可以用一个点也可以两个点,但是一般情况下,我们都是要满足这样的一种,形式。

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第四个我们介绍二面角的大小的比较,也就说我们怎么去计算它,或者讲去度量它,还有我们今天要讲的二面角的平面角的作法,我们以二面角的棱上的任意点为端点,在两个平面内分别引垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角就叫做二面角的平面角,比如说L上,我任意取一点O分别作oa和ob,注意oa和ob必须都垂直于棱,L同时他们要在平面阿尔法和白塔内,那么这样它所成的这个角,就是我们二面角的,平面角,注意规则,第一个,这个点我们取得这个点必须是在棱上,第二,线一定在面内,第三与棱垂直,我简单的这点在能上线,在面内与能垂直,必须满足这三句话,二面角的范围是零度到180度,注意这是B区间的,那么这里面注意什么时候是零度呢,那就是两个B半平面什么,重合的时候,什么时候180度正好在,爱平正好在一个平面内,那么当二面角的平面角为90度的,我们称为直二面角,实际上如果是直二面角的话,也想告诉你,这两个面是一种垂直关系,另外根据等角定理,我们时尚知道这里点O和O1撇,不管你选择哪里,这个角的大小事实上是一样的,所以也就是说给了一个二面角,那么它的平面角的大小就唯一了,也就确定跟点儿的选择的位置,是没有关系的。

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第五个,他的做法除了刚刚讲的定义,实际上这里我们还有一种常用的方法,就是做垂面的方式,就是在能上任意取一个点,然后做一个平面与两个平半平面相交,交线所成的角,AOB也就是二面角的平面角,那么同样的不管怎么样,要满足我们刚刚讲的三个规则,也就是说第一角的顶点要在棱上,第二,角的两边要分别在两个平面内,第三角的边必须要垂直于棱,就是我们刚刚讲的几句话。

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好,我们来看一下怎么求二面角,第一个例子,如图已知P点是二面角,阿尔法杠AB杠白塔能,上一点,那么过P点分别在,阿尔法和贝塔内引射线PM,和PN那么角P这里的顶点P处就是MPN,等于60度,叫BPM和BPN是45度,如何去求二面角的度数呢,那么对于二面角的度数的度量,我刚刚说了,我们史上要做出它的什么,平面角,所以这里我们先要做出来,那就需要按照定义或者利用垂面的方式,在棱上任意取一点,O然后过O点做垂直于AB的在阿尔法内和,贝塔类分别作垂直于AB的A,这里的OC垂直,于ABOD垂直于AB,然后他交pm和pm,分别与cd2点,然后并连接这里的cd,那么大家注意,根据二面角的定义,它平面角的定义,如果OC垂直ABOD垂直AB的话,角COD就是二面角的平面角,它的依据就是定义。

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好,那么既然它的平面角已经做出来了,怎么去计算,那就是我们下面的问题,利用解三角形的方法来进行计算,注意他给的条件,BPM和BPN都是45度,如果再加上它垂直的话,这里的CODRP和DOP这两个三角形,使上,就都是等腰直角三角形,而且实际上应该是全等的,那么然后我们再看一下,它已知他除了给了这几个角,没有给边长,实际上这里为了方便,我们可以设一个边长,设一个边长,OP假设A把三角形单独拿来看,如果它设为A的话,由于它是等腰直角三角形,这个也是pc就应该根号二,A同样的方法,PD也应该是根号二,那么这样的话,OCOD都是A,他是根号APCBD都相等,再加上这个角是60度,那么cd肯定是多少,CD是多少,因为它这两边相等,再加60度,这肯定是正三角形,所以CD肯定也是,根号2A那么这样的话,A他是A和CD是根号A,从而我们得到这个,三角形应该是一个什么,直角三角形,因为CD是高A那么为什么,因为OC方加O地方等于CD方,所以我们知道这个角是直角,所以直接COD等于90度过程射了,角COD为90度的话,那么这样的话,二面角的平面角,也就是我们的直角,也就是90度,注意求二面角的平面角的方法,第一步要做出来,第二要证明我们这里根据定义,然后再计算。

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好,我们再试一下下面一个问题,已知锐二面角阿尔法杠L贝塔,A为面阿尔法内一点,那么过A点做到白塔的距离为二倍,根号三到L的距离是四,那求二面角的大小,同样的这里我们需要去什么,做出来,第一步我们直接做不太方便,历史上可以有一种方式,先间接的做,利用好这个距离,就是先过点A做AO垂直于贝塔,然后我们再过O点作L的垂线,然后连接ad,那么然后这样的做法做出来的,能不能保证这个角是二面角的平面角,实际上是,可以的,为什么呢,大家可以考虑去正一下RAO垂直于底面,那么AO肯定垂直于L,再加上OD是我做垂直,L的,那么L垂直OD和oa,所以L垂直于AOD面,从而垂直于ad,所以这个角也是二面角的平面角,从而找到下面的问题,只要计算就行了,所以我们看一下步骤,第一步做出来已经做完了,第二步我说了,你可以去证明ad跟L垂直,实际上是通过L,垂直于AOD面,它得到的这个,角,第三步我们要去计算怎么算,因为根据题意这是二倍根号三,这是四,那么可以利用三角函数,赛因的角C塔等于对边比斜边,这应该是24倍,根号三,二分之根号三,这个角应该是60度,所以角ADO是60度,它是60度,也就是二面角的平面角是60度,最后要下结论,二面角的平面角A2面角的大小,实际上我们讲的二面角大小,就是二面角的平面角。

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好,这一讲我们主要介绍了二面角的度量,实际上它第一步要做,第二要正第三才去计算,当然这里计算主要用的是解三角形的方法。

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好,感谢同学们收看惋惜十分钟学校,欢迎同学们继续收看其他课程视频,再见。<br />

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