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视频 介绍

平面与平面平行的判定(1)

本节课主要介绍了一个平面内两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行.

松 张

教师 合肥32中校团委书记,市综合素质大赛二等奖、市优质课二等奖。

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各位同学大家好,欢迎大家来到婉馨十分钟学校,我是数学张老师,这一讲我们将来学习平面与平面平行的判定,那么首先请大家回忆一下,平面和平面的位置关系有几种,两种哪两种呢,平行或相交,那么我们注意一下,这个表格平行的时候,我们没有公共点距,做阿尔法平行白塔图形,相交的时候,我们说有一条公共直线,我们记作阿尔法交贝塔与某一条公共的直线。

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好,那么我们怎么去判断两条线平行,有没有什么好的方法呢,除了从公共点个数的,也就是从定义的角度,来判断我们有没有其他的,更好的方法,这是我们这一讲要讲的重点。

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好,首先大家可以考虑一下这样一个问题,问题三角板abc,有一条边bc与下面的桌面平行,你可以去做这样一个实验,如图1,那么三角板所在的平面与桌面阿尔法平行吗,是不是,那一定,我们大家知道,固定一条线三角板的一条边,bc,这个形状也就是说它形状是固定的,但是它的位置是不是就一定能确定,我们知道这样的话实际上它是可以移动的,也就是说三角板所在的平面,它与桌面不一定平行,因为桌面面试移动的,而且无限延展,所以他有可能相交,也可能是平行,所以这里不一定平行,那么我们再想下一个问题,一条遍不行,如果有两条边,比如说bc和AB都和下面的桌面平行,三角板所在的平面与下面的桌面,是否能保证它,平行呢,我们大家可以考虑两条,而且这两条线时尚是一种相交的关系,在前面学习公里的时候,我们知道两条相交直线,是可以把这个面确定的,因为经过两条相交,直线有唯一的平面,所以当他和她都平行桌面的话,这个面和这个面一定会什么,平行,那么这样的话,通过这个问题和上面的问题,我们就在想,一条边就是平面内一条边,与另外一个面平行,是无法确定两个面平行的,而一这两条线是可以确定的,而且我们要求这两条线必须是相交的,所以这里大家就在想,由此我们能得到一个什么结论,一个平面内有两条相交直线与另外一个面平行,则这两个面是平行的关系,也就我们得到这样一个结论,一个平面内两条相交直线,分别与另外一个平面,平行,则这两个平面平行,注意强调相交,这里就来了一个问题,如果不是香蕉,是两条线,但不是相交的,两条线如果是平行的,我们从公理上知道,公理二的推论中讲平行也是可以确定面的,但是不是能保证两个面平行,这好像不行,我们可以举个很简单的例子,教室的天花板和墙面,这样一个问题,我在墙面上可以找两条平行的线与天花板平行,但是我们这里墙面和天花板是相交关系,当然这只是我们是一种猜想和推测出来的结论,这个结论对不对,需要证明,所以下面我们来证一下,怎么去证明了,对于文字语言的命题,我们首先要去画图,然后用符号写出来再去证明。

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好,我这里两个平面阿尔法白塔,在阿尔法内有两条相交线,A和B交于点A那么A平行于贝塔,B也平行贝塔,则这两个面平行,然后怎么证,面和面平行,我们目前除了第一有没有别的方法,我们只学过两个面,没有公共点,则它是平行的,怎么办呢,我们再想直接去做这件事是很困难的,我们会考虑用反面来考虑,也就是用什么反证法,也就是说我们它说它平行,我不知道,我就假定它不平行,那两个面不平行,一定是什么,相交,来,我们来看是不是能推出矛盾。

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好,假设阿尔法白塔不平行,它相交,而且相交于某一条线,C你再想,如果两条线相交于,而两个面相交于C的话,这里的A和C应该是什么关系,首先A在阿尔法内,C肯定也在阿尔法内,他们应该是平行或相交的,还有这里A和白塔也是平行的,A和白塔平行,按照我们这个立方,我们可以知道,它就应该没有公共点,既然A和白塔没有公共点,A和刚刚的公共线,C就应该没有公共点,按道理来说,A和C应该是什么,平行。

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好,这里我们就来看一下是不是平行的,第一步,假设阿尔法贝塔交于直线C,因为A和白塔是平行的,而A在阿尔法内,所以我们知道首先A和C,应该没有公共点的,因为这两个面的交线是C它跟它平行,C也在白塔内,所以他俩肯定是平行,按照同样的方法,我可以证明B和C也平行,为什么,B在阿尔法内,对不对,B又平行于白塔,B跟白塔也没有公共点,那么他跟另外一个县肯定也是平行关系,这样的话由这两个平行,我们就推出什么,过平面阿尔法内的一个点,A有两条相交线都与C平行,这跟我们的公理平行线的公理相矛盾,我们平行线公理A和B都与C平行,则AB是什么,平行关系,所以我们的假设是什么,不成立,也就说它相交是不可能的,那也就应该是平行。

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好,从而证明了刚才的猜想,这是我们今天要讲的,平面平行的,判定就是一个平面内有两条相交直线,分别与另外一个平面平行,则这两个平面是平行,注意图形和符号,AB都在阿尔法内,AB交于点A他们都跟白塔平行,推出阿尔法贝塔,平行,所以这里大家就明白,实际上证明面平行这里,我们主要找两条相交线,不要多,只要两条,所以这里我们说注意两条直线,而且这两条必须是相交的,而且这两条分别与白塔平行。

00:08:19

好,我们用定理来看一下问题,正方体ABCDABCD求证,平面ABEDE和CEBD这两个面平行。

00:08:38

好,这里我们就在想,我们就不需用定义了,因为定义要说明没有共点挺麻烦的,这里我们可以考虑证明一个面类有两条相交线,与另外一个面平行,关键要找两条相交线与另外一个面平行,所以证明两面平行关键在于,在其中一个平面内,找两条相交直线,分别平行于另外一个平面,上这里找,只要找两条相交的,比如说ADE和BCE这正好是两个面的,正方体相对的面的面对角线还我们能不能挣它,两平行呢,是可以的,我们可以利用A证明ABCDE它是平行,四边形,然后对边平行,而有ad E与BC平行有线线平行得到,我们说了,这个线平行于这个面,就是我们线面平行的判定,一个线在面内,一个线在面外,一类以外加平行,得到线面平行,然后我们同样的方法在这,另外一组也可以证ABE和DCE平行,也就可以了。

00:10:00

好,所以我们可以由线线到线面再到面面,这是我们证明面平行的一个思路,实际上也就是由平面的问题推广到空间,具体的证明过程我们来看一下,AB平行于DC,因为正方形的这是对角线,对边是平行的。

00:10:28

好,DC和DEC也平行,这也是正方形的,对边平行,而且相等,所以你看它跟它平行是公理,四传递性,同样我们可以得到它跟它相等,从而我们说明ABCED是平行四边形,得到bc与ad平行,然后在平面ABDE内一类以外加刚才的平行,我们得到bc平行于ABD同样的方法,我们再整一组,C1D跟它平行,好,然后这两条线相交于点C1,而且这两条线都在面内。

00:11:18

好,面内的两条相交线都与平面平行,从而得到这两个面平行,这就是我们今天要讲的面面平行的判定定理。

00:11:31

好,我们想一下一个问题,我们把刚才的这个问题能不能推广一下,同样的图形,如果我在一个平面内的两条相交线与另外一个,平面内的两条相交线分别平行,是不是可以得到这两个面平行呢,也就是说我能不能直接由相交线,两组相交线,对应平行得到两个面,那就直接由平面到空间,就把中间过程给省了可不可以,行不行,大家想想,当然可以的,为什么呢,为什么这样是可以的,我们刚刚说了由线线平行是能推出线面,然后从线面到面面,所以你直接把过程跳过来,是肯定可以得到,从而我们得到一个推论,具体的过程大家课后也可以去挣一下,又是一个平面内,如果有两条线,AB分别与另外一个平面内的两条相交线平行,那么这两个面平行,这是我们定理的推论,当然这个定理在使用的时候,我们作为选择填空判断的时候,可以用证明的时候,还是要使用我们书本中给的判定定理。

00:12:52

好了,这一讲我们主要介绍了,两个平面平行的判定定理,这里要强调一个平面内的两条相交线,与另外一个平面平行,那么这两个面平行,这里讲了线不再多要两条,而且两条是相交直线,所以应用的时候请大家要特别注意,另外我们介绍了它的一个推论,用于解决选择题和填空题。

00:13:16

好,感谢同学们收看惋惜十分钟学校,欢迎同学们继续收看其他的课程视频,再见。<br />

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