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视频 介绍

等角定理与异面直线所成角

本节课主要介绍了空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补;两条异面直线所成的角-

松 张

教师 合肥32中校团委书记,市综合素质大赛二等奖、市优质课二等奖。

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各位同学大家好,欢迎大家来到惋惜十分钟学校,我是数学张老师。

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这讲我们将来介绍等角定理与异面直线所成角,首先请大家看这样一个问题,在平面上如果一个角的两边和另外一个角的,两边分别平行,那么这两个角的大小有什么关系,我们可以观察一下,这两个角它们对应的边平行,它对应的这个角应该是,观察直观观察是应该是相等的,而这个角和这个角之间同样的,你看它俩平行,这个边和这个边平行对应的角A并不是相等,那么这两者之间有没有一些关系,我们史上可以考虑通过,如果平移的话,你应该会发现一个什么问题,这两个角应该是是互补的关系,所以如果有这句话,我们就可以猜想,如果一个角的两边与另外一个角的两边分别,平行,那么这两个角应该是取什么,相等或者互补,当然我们也可以从长方体的角度来看一下,或者讲从私人处中来观察,私人柱的底面是平行四边形的时候,角A dc,大家观察一下,ADC这个角与角A撇D撇C撇,以及角ABC与角B撇A撇D撇,I注意在途中我已经标出,那么首先看这一组第一组它们对应的边,由于我们的四人住的性质应该是对应平行,那么对应的角应该是相等的,那么这里在第二个图中,角B1撇A1撇D撇这个角和这个角,大家想如果按上面的,我们知道这两角应该是一种什么,互补的关系,或者跟四边形的性质相联系,所以在四棱柱中也具有这样一个性质,也就是说如果它的对边两个角的对应的边平行,那么得到对应的角应该是相等或互补,从而得到我们今天要介绍的第一个等角定理,空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角应该是相等或互补关系,当它的开口方向相同的时候,应该是什么,相等,当然如果像这种情况,开口方向不一样的时候,可能是什么,互补,所以这里我们可以得到定理的一个推论,如果两条相交直线与另外两条相交直线分别,平行,那么这两条直线所成的角,叫锐角或者是钝角的,话,应该是什么,相等。

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有了等角定理这个前提,我们就可以去考虑一下,一面直线所成角应该去如何度量,所以我们来给大家定义意面直线所成角,如图,直线AB是两条异面直线在空间中任取一点O,过O点分别作直线A和B的平行线A撇B撇,则这两条线所成的锐角C塔或者只直角,称为异面直线A与B的所成的角。

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好,大家可以通过作图观察一下,空间中任意取一点,这个点答案是任意的,然后过它作A的平行线,在做一个be的平行线,B1撇,那么这样的话,这两条线会有一个夹角,当然我们考虑的是甲所成的什么,锐角,是不是C塔,当然这里我们也可以考虑一件事,既然O点是任意点,我们在做的时候能不能取一个很特殊的位置,方便我们的计算,也就是说这里史上我们可以考虑什么,大家观察在这个图形中,我手上可以取交点,然后过这个点A直线B与平面的交点,然后去做一个什么,平行于A的线A撇,这样的话得到的角,同样的是两条异面直线所成,的角,但这种方法比这种方法好,在于它只要平移一条直线,刚才要两条直线。

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好,那么大家再从过等角定理的判断,可以知道这个角和这个角它们的关系应该是,什么一样的,不管是这样做还是通过这种方式做的,你会发现它的大小是一样的,所以我们知道异面直线所成的角,是然后是一个,定值,所以我们可以去研究它,注意通过平移的思想。

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好,注意,我们如果以免直线所成角为90度的时候,则称他们互相垂直,那就是意面垂直的一种特殊情况。

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好,我们可以把它记作A垂直于B,而我们注意一面,直线所成角的范围是零度到90度,注意为什么没有等于0度,我们知道两条线如果成的角是零度,实际上这两条线应该是平行的关系。

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好,学了异面直线的定义之后还有所成的角,我们来看一下怎么去解决下列的问题,在正方体ABCDA撇B撇C撇D撇中,哪些能,所在的直线与BA1撇是异面直线,噢BA撇这条线是异面直线的,能,我们知道正方体有12条棱,跟他有公共点的,当然肯定不会是E面的,还有跟它平行的也不行,那么我们就要考虑与他相交的,在面内的所有的肯定都不行,那么跟它没有公共点的有哪些是不是一面的,我们可以观察一下,比如说这里的B撇C撇Aad,这两条答案,对于这中间的这几条,我们再看与它有公共点的,这肯定是不行的,包括bb1撇AA1撇,cc撇。

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好,所以测量中我们知道cc1撇是可以的,dd1撇可以的,而上底中B1撇C1撇C1撇D1撇,还有下底里面的cd和ad,所以我们能找到与BA撇成异面直线的有这样,的六条,注意观察一下,B撇C撇C撇D1撇和C撇CDCDD1撇,还有这里我们刚刚讲的AD等等。

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好,然后我们再看第二个,BA撇与cc1撇的夹角。

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好,我们知道BA撇与cc撇,实际上是一个什么,一面直线,那么异面直线我们讲可以通过平移来实现,当然我们说能够越少便宜越好,那么固定一条线be A1撇,那么我可以通过平移CC1撇,为什么,因为cc1撇和bb撇平行,所以按照等角定理它和它平行,那么CC撇与BA撇所成的角与BB撇与BA,所成的角应该是相等的,因为是等角定理,而这样的话,那这个角是多少度,我们就可以知道了,正方体的面对角线,这就是我们所找的他的异面直线所成角角B1,撇BA1撇应该是45度。

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好,这是第二个,第三个哪些能所在的直线与AA1撇垂直。

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好,注意我们现在讲的垂直,一种是共面,一种是一面的,那么按照我们的关系,我们知道A1撇侧棱是垂直上下底面的,你在想这肯定没问题,A1撇B1撇A1撇D1撇,D撇C撇呢,B撇C撇呢,好像都可以,还有包括底面AB ad bc,CD。

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好,一共有什么,八条,所以我们要知道,第一我们知道找到对于第二个,问题,利用等角定理可以找到它异面直线所成的角是,B撇BA撇,而且是45度,而与AA1撇垂直的有上底的四条和下底的四,条,一共有八条。

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好,简单注意总结一下,求异面直线所成角的步骤,我们一般第一步要做出来,根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角,第二要去证明它是异面直线所成的角,这答案主要应用的是我们的等角定理,第三要计算,所以简单的讲我们是一座二正三计算,一般情况下我们会通过平移的方法得到异面,直线所成的角,当然也有可能是它的补角,当然我们注意,我们求到的是他的所成的锐角或,直角,也就是异面直线所成角的范围应该是零度到,90度。

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好,这节课我们主要介绍了一个是等角定理,第二介绍一面直线所成的角,那么大家要注意一面直线所成角的步骤,我们说是通过平移的方法,第一步要把它做出来,然后证明并计算。

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好,感谢同学们收看往西十分钟学校,欢迎同学们继续收看其他课程视频,再见。<br />

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