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视频 介绍

必修1第三章单元复习(1)

本节课主要介绍了对于函数y=ax (a>1),y=logax (a>1),y=xα(α>0),存在一个x0,使得当x>x0时,有ax > xα> logax

明军 周

教师 合肥32中中学一级教师,市综合素质大赛二等奖。

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各位同学大家好,欢迎来到皖新十分钟学校,我是数学老师周老师。

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前面一段时间,我们学习了必修一第三章函数的应用,从今天这节课开始,我们来对这一章的内容稍微回顾一下。

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好,首先我们来看这一章,都学习了哪些知识,这一章它包含两部分,第一部分是函数与方程,第二部分是函数模型及其应用,在函数与方程这一块,我们又学习了两部分内容,第一部分是方程的根与函数的零点,这中间有一个很重要的函数零点的存在性定理,我们也把它叫做方程根的四边形定理。

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好,第二部分内容,是用二分法来求方程的近似解。

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好,这是在函数与方程这一块,在第二部分,函数模型及其应用这一块,我们分成这样三个部分,第一部分是几种不同增长的函数模型,那么我们主要是研究指数型,对数性和幂函数,第二种是用已知函数模型去解决问题,也就告诉我们函数模型的特点,让我们去解决实际问题,第三种是构建函数模型,解决实际问题,也就实际问题中没有告诉函数模型,让我们根据题目,去选择合适的函数模型,去解决问题。

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好,这是我们这一章学习过的内容,下面我们来看几个例题。

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第一个例题,函数FX等于NX减X分之二,它的零点在下面哪个区间内。

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这是判断零点的位置问题,判断零点位置问题,我们往往要用到零点的存在性定理,零点存在定理就说明,如果零点在那个区间上的话,它应该满足在那区间上第一函数图像,要是连续不断的,第二,在区间两个端点处的函数值,应该是一正一副,也就是FA乘FB要小于零,我这一题函数图像在X大于零的时候,它是连续不断的,X可以一期所有的值都能取,大于零的一切时候都可以取。

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第二,我们要判断就是在哪一个区间上,F乘FB是大于零的是小于零的,这里其中有一个选项,注意还有两个,也就是说它可能有两个零点,我还要判断这个函数,它有没有可能有两个零点,首先我们来看一下,这个函数它有没有可能有两个零点,什么时候我们能够知道,这个函数零点只有唯一的呢,大家知道,它就是在函数零点存在性定理里面再加一个条件,如果这个函数它是单调的,在已知这个区间AB上是单调的,那么这个时候在满足前面的两个条件,是连续不断的曲线,第2F成AB小于零,这个时候有这三个条件,我就可以判断,它在这一段区间上这个函数,一定是只有唯一零点的。

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首先我们来看一下这个函数是不是单调的,当X大于零的时候,因为我们这题定义域是X大于零,大家从表达式中应该能看出来,因为这个X是帧数,所以这个X一定在零到正无穷上。

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好,在这个范围内,它是不是单调的前面一部分啦,XCX大而增大,而后面这个反比例函数,是Y等于负X分之二,显然它也是随着X在零到正无穷这一段,它也是随着X增大而增大,所以整体来看,FX在定义域上是单调递增的,所以它不可能存在两个零点,由此可以看C肯定是不对的。

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下面再剩下的几个答案中,我只要依次去判断在哪一个区间,两个端点处的函数值是一正一负的,就可以得到单了。

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好,已知FX在定义域上为增函数,并且F1判断一下带进去算一下,它是2小于零,F2等于烙印21险还小于零,所以在1到2上,它已经不满足F1乘F2小于零了,这两个乘积相加大于零,所以在医大二上可能没有零点,下面再计算F3F三等于烙印323,像这个值是大于零,我们不需要知道它的具体值多少,我只要能判断它正负就行了,那这个值大于零,而F2是小于零,所以F2乘F3小于零,我们就可以判断零点就在2到3这个区间上,所以这题答案应该选择B,好,这是第一个问题。

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第二个问题,如下面有四幅图,函数图像与X轴均有交点,但不易用二分法求交点横坐标的是。

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我们知道求函数图像与X轴的交点,也就是它对应的方程的解,那交点的横坐标就是对应方程的解,也就是定函数的零点。

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好,要我们来判断它是否用能够用二分法来求解,我就讲二二分法求函数零点或者求方程的解,它要求是什么,他要求首先这个函数在这一段上,要是连续不断的,第二,在这段上在零点所在的小附近,它必须要满足端点处的函数值,要一正一负,这样我才可以继续往下分。

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好,大家看A选项,零点在附近是可以的,我们来看一下,在这一小块X1附近,函数值一正一负,并且这个图像有一次穿过X轴,我们知道在这上面一定有零点,可以用二分法来分,在这边也行,在这个地方附近也可以。

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好,再看这个图像,在X1的附近,我取一个区间函数值一定是一正一负的,在X1的附近,大家可以看到取个值,也会出现一正一负的情况,所以这三个我都可以考虑用二分法来求解,而这个大家看X又在附近取个小区间,它这两个区间的端点肯定都是正的,同样这也是区间两个端点的,这肯定都是挣的,都挣了他就不满足,FA乘FB小于零了,所以我就不能用二分法来进行求解。

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好,所以这一题不易用二分法来求解的应该是选B,看一下它的说明,根据R分法求函数近似零点的条件,贤虽然B是连续不断的函数,但是再次定义力任一个区间,AB上它都不满足FA乘FB小于零,当然我们任意区间,只需要选择在零点所在的,小区监理合理的一个小区间内就行了,所以B不能用二分法进行求解,这就是刚才我们所说明的。

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好,第三个问题,利用计算器求方程,log K等于3减X的近似解,要求精确度是01,求方程的近似解,与求函数零点的近似值是一样的,我们可以转化成考虑函数零点的近似值问题,因为求函数里面近似值,我可以通过分法来进行操作。

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好,所以我们把这个题可以把右边的部分移到左边,就得到log X加X减三这样一个等于0,这样一个方程,它对应的函数我们就知道了,老葛X加X减三这样一个函数。

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好,我们连这个函数FX等于log X加X减三,在同一个坐标内我们作出,Y等于log X和Y等于3减,X图像有图像,我们可以发现有个交点,当然我也可以直接做这个函数图像,它与X轴有个交点,也就是我们可以发现这个方程它是有唯一解的,那方程有唯一解,我们在图像上看只能看到一段,为什么就判断它有唯一结论,其实这里,我们还应该结合这个函数是来看一下,这个函数我们容易判断它是在定于零到正五项,是单调递增的,所以它如果有解的话一定是唯一的,经过计算,X0在2到3上,这个姐在2到3范围内,也就是从图案上,我们能够看到这个特点焦点的大概范围,经过计算F2小于零带进去,F2等于log2+21,也就log21+23,结果就是log2减一,小于零的F3等于log3大于零了,所以F2乘F3小于零零零点,也就是方程的近似解就在2到3这个范围。

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下面我可以用二分法来进行操作了,我把这个2到3进行中间取重点进行分割,这个列表如下,大家可以看到,2到3取中点,25经过计算,F25是负的,然后这个时候大家可以看到,区间的长度被分原来是一遍,取个中点以后变成05了,显然没有达到精确度,所以继续去继续分下去,再去重点2075计算得到了正正的话,这个时候因为F25是负的,F275是正的,所以下面零点应该在25到275之间,当然这个范围还没有得到精确度,我继续分下去,如此下去到第五步,我们得到零点在25625,到2625之间,我们没有继续取了,因为这个时候我们看一下区间的长度,用256252625,取绝对值,发现它比01已经小了,也就是说它已经达到精确度了,所以在这时候,我们取趋向任意一个点都可以,作为这个方程的近似解,通常情况下,我们取左端点或者是右端点就可以了。

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好,这样我们就得到得到,这个问题解这个区间长度,通过计算达到00625小于01,所以原方程的近似解我就可以取25625,他取的是左端点,当然你也可以取右端点2625也可以。

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好,这是用这个时分法来解决求方程近似解的问题,再求近似解问题的时候,我们首先也是将这个方程转化成相应的函数,然后通过函数图像去观察姐的大致范围,然后娶到这么一个小区间,验证一下这个区间,是不是F乘AB小于零的,如果是说明在这中间一定有一个零点,还要严格地说明一下这个函数的单调性,这样更完整一点。

00:11:51

好,今天这节课我们通过三个例子,复习了第三章的相关内容,函数零点的一些内容。

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好,感谢大家收看,欢迎继续收看广西十分钟学校的其他课程。<br />

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