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视频 介绍

函数模型的应用实例(3)

本节课主要介绍了对于函数y=ax (a>1),y=logax (a>1),y=xα(α>0),存在一个x0,使得当x>x0时,有ax > xα> logax

明军 周

教师 合肥32中中学一级教师,市综合素质大赛二等奖。

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各位同学大家好,欢迎来到宛心十分钟学校,我是数学老师周老师。

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上一节课的例子当中,已经明确可以给我们了函数模型的式子,那要求我们求出中间的参数,就能得到函数模型,然后应用函数模型去解决问题。

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还有一些问题中,函数模型并没有直接告诉我们,要我们自己根据题目,去选择合适的函数模型,今天这节课我们就来看这样的问题,函数的离合问题。

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好,下面大家看这样一个例子,某桶装水经营部,每天的房租人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是五元,销售单价与日均销售量的关系,如这个表所示,大家可以看到,销售单价如果逐渐增高的话,销售量会逐渐减少,而且这种变化的规律,我们发现当销售单价每增长一元的时候,美涨一元的时候,你看到销售量就会少40桶,有这样的规律,好,像你根据表作出分析,经营部怎样定价才能获得最大的利润,其实这类问题,可能大家在初中的时候也接触到,因为这种变化的规律,是我们以前已经学习过的,就是价格每增长亿元,销售量会固定地减少多少桶。

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好,根据上面的表格,销售单价每增长亿元,日均销售量就减少40桶,我要设在竞价的基础上,我增加了X元,注意进价是五元,在五元的基础上增加X元,日均销售利润用Y来表示,那么在此情况下,我要算它的销售利润,我就应该先算出销售量,销售量应该是48040乘X减一,阿当X取一的时候,也就是在原来进价的基础上,增加一元,也就是六元,那代进去计算,大家发现正好是480,当X取二的时候,这时候就少了40,所以后面是减去40乘以X一减一。

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好,整理一下,这个式子就达到52040,X这是销售量。

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好,那么知道了销售量以后,我就可以来计算它的销售利润了,销售利润等于销售单价减去进价,这是每桶的利润,再乘以销售量,就达到了我的总利润,还要减去,当然了要减去固定成本。

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好,由于这里的X是大于零的,我们的销售价格肯定要比进价R要高,且52040X要大于零,这是要求我销售量不能为负,销售量一定要是正的,这样我确定了X的范围在0到13,这个X范围,就是我下面所求函数的定义域。

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好,求出X范围以后,下面我们来写利润,利润等于它的销售的桶数,乘以销售每桶的利润,每桶利润是X它是X是在进价的基础上增加的,那就是每桶的利润再减去固定成本200,整理一下这个表达式,得到它正好是一个二次函数,当然二次函数大家一定要注意,它定义域在0到13这个范围内,也就是他只是二次函数上的一段,要求X2次函数的最大值,求出来二次函数最大值,也就是我们这题利润的最大值。

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好,求二次函数最大值,大家知道开口向下的二次函数,如果对称轴在这个范围内的话,像在对称轴这个地方就取得最大值,我们先可以算一下对称轴,负2A分之B,经过计算,我们得到负A分之B等于65,也就是当X等于65时Y有最大值,也就65,显然我们看到它确实在0到13这个范围内,也就满足这个题目意思。

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好,所以我们只需讲销售单价,定为115元就可以,获得最大利润,这里是六点,为什么,这里是115,因为X2我们前面设,大家要记得它的意义,是在进价的基础上增加,X元我进价是五元,如果再增加65以后,这个时候它的销售定价不就是115元吗,当然你可以在这里先列个算式算好。

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好,最后回答这个问题的解,就是在销售定价定为115元的时候,可以获得最大利润,也就从数学模型的问题,要转化到实际问题的解。

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前面中间这一段我们都是在解决数学问题,也就求二次函数的最大值问题,在已知范围内的最大的问题,最后求出来最大的问题,再来回答实际问题。

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好,这就是用选择了一个二次函数的模型,来解决这个问题。

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好,下面再看这样一个问题,某地区,不同身高的未成年男性的体重和身高和体重的关系如下表,身高是60的,体重是613千克,如此下去,每个DN的值,我们在这里,就不再一读出来,下面的问题是,第一根据上表提供的数据,能否建立适当的数学模型,使它能比较近似地反映这个地区为成年男性,体重与身高的关系,是写出这个函数模型的解析式。

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第一个问题,要我们探索身高和体重之间的关系,第二个问题,若体重超过生相同身高男性,其中平均值的12倍就称为偏胖,低于08倍称为篇数,那么这个地区移民身高是175厘米,体重为七十八千克的在校男生的体重,它是否正常,也就是它会不会高于平均值的12倍,会不会低于平均值的08倍呢。

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好,我们来看一下,首先要解决第一个问题,我们先以身高为横坐标,体重为纵坐标来话三点图,根据这些点的分布特征,我们来看一下,应该怎么样去选择函数模型,去刻画身高和体重之间的关系。

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好,那么把这些点画在这个图中,大家可以看到,它近似于一种指数函数的那种增长的规律,所以我们可以考虑考虑,选用Y等于A乘B的X次幂这种形式,来刻画身高和体重的关系,然后在这中间要想确定这个模型,我就应该求出AB的值,要求AB的值,我就必须要找两个点带进去,我这里选择了两个点,一个是70790,还有个职是一百六十四十七25,这两个值带进去计算。

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好,带进去以后我们得到一个方程组,这个方程组通过求解,我们能够记这个求解要用计算器,求得A约等于2,B约等于102,这样我们就得到了这个函数模型,是Y等于2×102的X次幂,这个函数模型到底好不好,因为刚才我们说可以选择考虑用这个模型,但这个模型不一定是最好的,也就是说我们要考虑,这个模型它的到底离合的程度怎么样。

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好,那么我们就来看一下,将已知数据代入这个函数式进行计算,也就比如说我把X等于多少代进去,算算出来,Y值看跟前面的Y值是否吻合,还有一种方法,就是我把这个模型的图像给做出来,然后和刚才前面三点图进行比较,如果这个散点图都基本落在图像的附近,离这个图像很近,或者尽可能多的落在这个图像上,那就说明这个模型离合的较好。

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我们这一题大家可以看到,这个三定图基本上落在这个函数图像上,所以这个模型你和的比较好,如果出现了三这些点的这些图像,你这个函数的图像比较远,这样的点比较多,可能这个模型选择就不合理,大家再可以去考虑选择其他模型,比如说,他可不可能是二次函数的增长模型,再去计算再去验证。

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好,我们这一题可以发现,这个模型与已知数据的离合程度较好,这说明它能较好地反映这一地区为成年男性的体重和身高的关系。

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好,第二个问题,要我们愈要我们来判断一下,身高是175,体重是七十八千克的在校男生,他的体重是否正常。

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好,那么我就把X等于175带进去计算一下,计算得到Y是多少,Y等于2乘以102的175次方,用计算器我们算的Y约等于6398,6398,那么它预它实际体重是78,显然比实际体重要大,有没有超过那个范围,我们用78÷6398,这样约等于是12,也就是说它的实际体重,是我们这种预测体重的12倍,也就是他超过了,他相同身高的平均值的12倍了。

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比12倍大,由此可以判断,在校男生的体重是偏胖的。

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这题通过我们自己选择函数模型,然后去解决了一些函数问题,并且用我们这个模型去判断,一个含一个数据是不是正常。

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好,这就是函数建模的一种应用。

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好,这节课我们通过两个例子,来体会如何建立函数模型去解决实际问题,大家在解决实际问题的过程中,要选择合适的函数模型,往往有时候一次选择不一定能成功,可能要出现两次或者多次选择的情况。

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好,感谢大家收看。

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