{{'Please rotate your device to landscape mode' | trans: locale}}

视频 介绍

函数模型的应用实例(1)

本节课主要介绍了对于函数y=ax (a>1),y=logax (a>1),y=xα(α>0),存在一个x0,使得当x>x0时,有ax > xα> logax

明军 周

教师 合肥32中中学一级教师,市综合素质大赛二等奖。

{{trans['order Lesson']}}
00:00:00

各位同学大家好,欢迎来到晚清十分钟学校,我是数学老师周老师.

00:00:11

前面我们分析了不同增长模型的几个函数,指数函数,对数函数,幂函数.

00:00:18

我们也大致了解了它们增长的特点,今天这节课开始,我们来学习函数模型的实际应用.

00:00:27

好,函数模型的应用实例,第一个问题,函数的建构,一次函数,二次函数,指数函数,对数函数以及幂函数,它不只是理论上数学问题,他们对于现实世界有着紧密的联系,那么我们如何用这些函数模型来解决实际问题.

00:00:50

好,下面我们通过一个具体例子来体会一下.

00:00:56

一辆汽车在某段公路中的行驶速率与时间的关系,如图所示.

00:01:02

它的速率和时间,从这个图上大家可以看出,在0到1这段时间里,它的速度是50,在1到2这段时间内速度是80,在2到3这段时间里,它的速度是90,在3到4这段时间里速度对应的是I70.

00:01:29

在下面这段时间内,它对应的是75二十六十五,前面定的是75.

00:01:37

好,这是从速率和时间的表上我们能够发现的东西,下面的问题是第一求图中阴影部分的面积,边说明所求面积的实际含义,那就这里有五块小矩形,我们应该求这五块矩形的面积,并说明矩形面积它的实际意义.

00:02:04

好,第二个问题,假设质量汽车的里程表在汽车行驶之中,这段路程前的读数为二零零四千米,是建立汽车行驶这段路程时,汽车里程表的读数S单位是千米与时间T单位是小事,它们之间的函数解析式,并作出相应的图像.

00:02:30

好,两个问题我们一起来解决,首先大家看第一个问题,求阴影部分面积,便说明它的实际,阴影部分的面积也就是矩形的长乘以宽,把五个加到一起就可以了,对于每个矩形来说,它的宽都是以它的长分别是第一个是50,50乘以第二是80乘以,第三个面积是90乘以第四个面积是75乘以R最后一个是65乘以,加到一起是360,也就阴影部分的面积和是360,它代表什么意思呢.

00:03:10

它就代表在0到5这一段时间内,五个小时内汽车所行驶的总路程,汽车在这五个小时内行驶的总路程为三百六十千米.

00:03:23

好,这样我们解决了第一个问题,第二个问题,汽车在行驶这段路程前,里程表的读数是二零零四千米,让我们去建立行驶这段路程的汽车的里程表,读数S和时间的函数关系,从我们图像上大家会发现,汽车在行驶这一段路程的时候,它的速度是在变化的,分别有五个不同的速度,所以我们在建立这个函数模型的时候就要分成五段.

00:03:57

好,第一段它行驶的路程就等于行驶时间乘以速度50,那就是50乘以时间T.好,就50T它是行驶路程,还要加上汽车里程表原来的读数2014,所以得到在0到1上T大于等于0小于一的时候,它的表达式是S等于50T加2014,注意,T在零到以上不包含一,不包含一,因为我们这里是空心圈,空心圈后面几段都一样.

00:04:40

除了最后一段它包含着地方都是不包含的,也就是我们在写每一段定义域的时候,要注意这个地方的区别,注意区别.

00:04:50

在第二段上,大家看一下,在这段上,汽车里程表读数已经把前面一部分50加上了,所以在行驶到一小时结束的时候,里程表的读数已经是2000,不再是2004了,是2054.

00:05:06

所以应该在2054的基础上,再加上这一段行驶的时间以80速度行驶,路程是多少,应该是80乘以它的行驶时间,时间是T减去前面的一个小时,所以是T减一,这里是T减一.

00:05:25

好,再加上里程表已有的读数2054.

00:05:30

好,这是在第二段上行驶到这一段上它里程表读数的变化规律,在第三段上一次,首先把前面两段行驶的里程表读数全部加进去那第一段行驶了50,第二段行驶了80,加在一起是130,加上130以后,里程表读数已经是2134,再加上到两个小时后的行驶时间是T减二小时内每小时速度是90,所以行驶路程是90倍的T加.

00:06:08

好,这就是在第三段上速度是90的时候,里程表的读数和时间的关系.

00:06:15

好,在第四段上,大家看一下,把前面三段加上再加个90以后得到2224里程表读数,那么当前以75速度七十五千米每小时的速度行驶,那么它行驶的路程的关系是75倍的T减三,再加上原有读数2224.

00:06:41

好,这是在T大于等于3小于四这一段上汽车,里程表的读数和行驶时间的关系时.

00:06:52

好,最后一段一次有下面最后一段,大家注意的时候,他TR2边都包含,因为这两个点都是实心的,那么经过计算,S等于65倍的T减4+2299,最后需要说明的就是这一题.

00:07:14

它是一个分段函数,分段函数的书写这里,要用大括号来把后面的几段并列的写在一起.

00:07:22

好,这是我们在书写分段函数的时候要注意的,还要在每一段函数后面强调函数值的取值范围,那么函数值的取值范围在原则上是不能重复的,比如说我这里的一这里取了,那么这里就没取二,在第三段去了,第二段就没取一次,都有这样的要求.

00:07:45

好,这是我们这是第二个问题,列出汽车行驶里程表的读数和行驶时间的关系式,还要画出它的图像,大家看一下,这个函数有五段,在每一段上它的图像分别是什么呢,在第一段上大家看到它是一个一次函数,它是一个一次函数,在第二段上通过这里,它也是一个一次函数,后面每一段都一样都是一次函数,所以它的图像画出来以后,应该在每段上都是一个直线的形式,所以连在一起它是应该是一个折线,应该是一个折现.

00:08:25

好,下面大家看一下图像.

00:08:29

好,在零到以上是这样的意思,S和时间T是这样的变化规律,在1到2上是这样的变化规律,2到3上市这种变化规律,3到4是这一段,4到5是这的.

00:08:45

从这个图上大家可以看出来,每一段直线的倾斜程度是不一样的,那是因为在每段上汽车行驶的速度是有区别的,尤其我们知道在2到3这一段所在的直线是最为陡峭的,因为在这一段上汽车行驶的速度是最快的,是九十千米小时.

00:09:11

好,所以大家在画图的时候应该注意这个区别,如果我们再能讲相应的拐点,它所对应的横坐标给标上的话,那就更准确了,比如说这里大家可以把它画上,如此下去,这是三,这地方是四,这地方是15,那么对应的横坐标我就不在这里一一画出了.

00:09:39

好,从这个图上大家可以更清楚地看到里程表的读数,它的变化的规律.

00:09:51

好,今天这节课我们通过一个具体的例子,体会了用函数模型来解决实际问题的具体做法,在解决实际问题的时候,首先要将实际问题读懂,转化成数学问题,然后通过解决数学问题来得到实际问题的解.

00:10:10

好,感谢大家收看,欢迎大家继续收看婉欣十分钟学校的其他课程.<br />

相关视频