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视频 介绍

几种不同增长的函数模型(3)

本节课主要介绍了对于函数y=ax (a>1),y=logax (a>1),y=xα(α>0),存在一个x0,使得当x>x0时,有ax > xα> logax

明军 周

教师 合肥32中中学一级教师,市综合素质大赛二等奖。

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各位同学大家好,欢迎来到皖新十分钟学校,我是数学老师周老师.

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前面我们学习过几种函数模型也对这几种函数模型进行过比较,那么今天这节课我们来集中比较三种函数,模型就是指数型函数,对数型函数和幂函数.

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好,下面我们来看具体内容,对于对数函数,Y等于log以A为底X对数,当然我们只讨论A大于零的也就增长型的指数函数,Y等于A的X幂A也大于一,这个时候考虑它是增的幂函数,Y等于X的N次方N大于零,在区间零到正无穷上,这三类函数都是增函数,从前面两个例子中,前面学习工具是我们知道这三类函数的增长是有差异的,那么它们的具体差异到底是怎样的.

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下面我们来看一下,我们先来从几个特殊的例子入手,这里对于前面两个函数,我A都曲二,你不是大于一吗,我都取二.

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而后面这个幂函数我N也去,RN也去.

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好,我们来探究含这三个函数它的增长情况以及它们的差异.

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好,利用计算机或者计算器,列出函数自变量函数值的对应表,并且在同一坐标系里,我们来画出这三个函数的图像,看一看它们的图像的特点.

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好,这是三个函数列的表,他定的值这里我们列了一些值,然后通过描点作图得到了三个函数的图像,从这个图像上大家可以看到它都是单调递增的,在零到正无穷范围内都是单调递增的,但是它增长速度是明显不同的.

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I这两个函数的增长速度Y等于X平方和Y等于2的X方,显然是要比较快的,而这个函数他一开始很快,到后面的某一个值开始它往后增长就比较慢了,对数函数到后来的增长比较慢.

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好,这是我们从图片上得到的直观感受,下面我们每两两个来比较一下.

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好,首先我们比较这两个,刚才我们从观察到增长比较快的两个,一个是Y等于2的X米,一个是Y等于X平方,这个是指数函数,这个是幂函数.

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从这段图像上大家可以看到它们有两个交点,一个在X等于2的时候,这两个值同时取得四,还有一个焦点X等于4的时候,这两个值同时取得16,因为有了这两个焦点,所以我们可以把它们的大小先根据二和四分成,这样几种情况,当X在0到2的时候,大家看这一段红色线在上面,也就是Y等于2的X面试比X平方要大的.

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在2到4之间,红色线在下面,那也就是说X平方比二的X幂要大,而在后面比四大的时候,X大于四的时候,这个时候我们发现红色线又到上面去了,那也就是二的X次幂又比X平方要大,后面它可不可能还会有交点,那显然不会了.

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因为二的X幂越往后,它的增长是越来越快的,会比它的增长速度还要快快的多.

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好,当自变量X越来越大时,可以看到,Y等于2的X幂图像简直就像与X轴垂直一样,也就增长得非常的快.

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而X平方的值与二的X次幂比较起来,它几乎微不足道,我们可以看下面这个图,来感觉一下,我们把数值列的比较大,X取到最大渠道80,我们来看,在一开始取零的时候,R2的X幂是1X平方是零,取食的时候二的X次方得到1024,X平方只是一百,而取20的时候二的X方已经得到105×十的六次方,这个数值已经非常大了.

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而此时Y等于X方才是400,后面可以看出来二的X次方的增长非常的迅猛,而Y等于X平方它的增长相对于Y等于2的X次幂来说,几乎是微不足道的.

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从图形上大家可以看到,Y等于2X米,后来的增长的非常的快,而Y等于2的X面,我们把Y轴大家知道这个单位取得很大,你可以看到它的增长就微不足道了.

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好,这样我们比较了这两个函数的增长关系,对于指数函数Y等于A的X幂A大于一和幂函数,Y等于X的N次幂N大于零,通过探索我们发现在零到正无穷上,无论N比A要大多少,尽管在X的一定变化范围内,A的X次面会小于X的N次面.

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刚才前面我们看到在2到4范围内会出现这种情况,但由于A的X幂它增长快于X的N次幂的增长,因此总会存在一个X0.

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当X大于X0的时候,就会有A的X幂始终大于X的N次幂,在前面图形中,也就是当X比四大的时候,我们会发现二的X面永远大于X的二次幂.

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好,这是比较指数函数和幂函数我们得到的结论.

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好,后面同样的,对于对数,函数以A为底X对数A大于和幂函数,它在区间零到正武器上也是随X的增大而增大,对数值的增长是越来越慢的,刚才从前面图像中我们发现他到后来的图像,几乎与X轴是平行的,也就增长非常缓慢,尽管在一定的变化范围内,对数值可能会大于RXN次幂幂函数的值,但是由于对数值的增长会比XN次幂它的增长要慢.

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所以总会存在一个X0,当X大于X0的时候,log以A为底,X对数小于X的N次幂,一定能找到这样一个X0.

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好,这里又比较了幂函数和对数函数的大小关系,这样三个函数的大小关系我们都知道了,结合在一起来看出来的话,对数函数它是当X达到一定值以后,它是最小的儿,指数函数是最大的幂函数,介于两者之间.

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好,下面我们放到一起叙述一下,在区间零到正无穷上,尽管函数指数函数对数函数和幂函数,它都是增函数,但是它们增长的速度不同.

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而且不在同一个档次上,随着X的增大,指数函数的增长速度越来越快,它会超过并远远大于幂函数的增长速度,而对数函数它的增长速度会越来越慢,所以这样一来总会存在一个X0,当X大于X0的时候,我们就能得到这个对数值小于幂函数的值小于R对数,而小于指数函数的值,也就log以A为底,X小于XN次方小于A的X方.

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所以我们有一句话,通常会说道教指数爆炸,指数函数的增长如果A大于一的时候它是增长的,它的增长会到后来会出现爆炸的形式非常的快,对数到后来是增长速度会很缓慢,几乎看不到多少增长.

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好,今天这节课我们比较了指数函数,对数函数和幂函数三种函数模型的增长速度,通过比较我们知道当X大于某一个值X0的时候,一定是指数函数增长最快,对数函数增长最慢.

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