{{'Please rotate your device to landscape mode' | trans: locale}}

视频 介绍

几种不同增长的函数模型(2)

本节课主要介绍了对于函数y=ax (a>1),y=logax (a>1),y=xα(α>0),存在一个x0,使得当x>x_0时,有ax > xα> logax -

明军 周

教师 合肥32中中学一级教师,市综合素质大赛二等奖。

{{trans['order Lesson']}}
00:00:00

各位同学大家好,欢迎来到皖新十分钟学校,我是数学老师周老师.

00:00:12

上一节课我们通过一个例子来体会了函数模型,在我们解决实际问题中的应用,今天这节课我们来继续体会一下,概括一下这个函数模型解决实际问题的步骤,然后通过例子再来体会其他的函数模型的应用.

00:00:34

好,首先我们来概括一下这个用函数模型解决实际问题的一般步骤,第一步实际问题我们要去理解,去进行读懂实际问题的内容,抽象概括出数学问题,也就是把实际问题转化成数学问题,这是第一步.

00:00:59

第二步也就是从数学问题出发,我们来进行求解,进行运算,推理来得到数学问题的解.

00:01:10

第三步,再有数学问题来还原说明实际问题,也就再来说明实际问题的解.

00:01:20

好,这是用这个函数模型解决实际问题,它的一般步骤可以分为这样三个步骤.

00:01:30

好,下面我们来看一个具体的应用,某公司为了实现1000万利润的目标,准备制定一个吉利销售部门的奖励方案.

00:01:44

那方案要求是这样,在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金Y随着销售利润X的增加而增加,也就销售利润越多,奖金就越多.

00:02:02

但奖金数不超过5万元,这也就是奖金的封顶设置一个封顶金额,同时奖金不超过利润的25,也就最多只会拿出利润的25来进行奖励.

00:02:16

现有三种奖励模型,这里给你三种,第一种是Y等于025X第二种是Y等于R以七为底X对数加上一,第三种是Y等于1002的X次幂,他问其中哪一个模型能够符合公司的要求,能不能满足公司要求,也就看一看它能不能满足奖励方案的要求.

00:02:45

奖励方案一共有几点要求,第一是销售利润从10万元开始奖励,那么它的要求是奖金随着销售利润的增加,这是一个.

00:02:58

第二,奖金不超过5万元,这是一个,第三,奖金又不超过利润的25,所以我们可以看作它有三个限制条件,那也就是下面这三个模型,哪一个能同时满足这三个条件.

00:03:12

好,我们来分析一下,某个奖励模型符合公司要求,也就依据这个模型进行奖励时,奖金的总数不会超过5万,这是满足第一个第二,奖金不会超过利润的25,只有满足了第二个你要求.

00:03:30

当然还有一个要求就是随着利润的增加,奖金也要增加.

00:03:34

由于公司总的利润目标是1000万元,所以人员销售利润一般不会超过公司的总的利润,于是我们只需要在区间100到1000这个范围上来讨论,这三个模型是否来符合公司要求即可.

00:03:56

我们不妨先做出函数图像,通过观察函数图像得到初步的结论,再通过具体的计算来确认这个结果是否正确.

00:04:06

好,下面我们来借助于计算机做出了三个函数的图像.

00:04:12

好,从这个图像上大家可以看出,这是Y等于5这条线,也就是说我们奖金不能超过这条线,如果超过这条线应该就不满足要求了,从这个图像上大家可以一眼能看出有两个可能不行,这个是肯定不行,它应该是很快就会超过Y等于5这条线了,而这条线它满足不满足要求,我们能不能直接作出判断呢,很难.

00:04:45

为什么呢,因为他在某一点处超过了五,如果这点它的横坐标比一千大的话,我们也可以判断他也满足要求,因为我只要在10到1000范围内,图像应该在Y等于5的下方就可以了.

00:05:04

好,待会我们要讨论这个图像他与我的焦点大概在哪.

00:05:10

好,那么这个函数图像我们从目前画出的这一段看,Y等于log以七为底X对数加一,从目前画出这一段看,它没有超过Y等于5的条件,它前面一开始增长快一点,后面增长的比较慢一点,我们感觉到后来他近乎于平行于Y等于5的状态,当然它是随X增大而增大的,它不可能是和他平行的,是非常接近于它了.

00:05:42

那也可以锻炼他会在某一个范围之后某一个值之后它会超过,但是这个值从我们图像上看应该比一千要大得多,所以他肯定在10到1000范围内不会超过五的.

00:06:01

好,下面这是第一步,从图形上观察,下面我们通过计算,对于第一个模型Y等于05,X在10到1000上递增.

00:06:11

当X20到1000时,Y就已经大于五了,大家看到X取20的时候只有Y已经是五了,那笔20大的话这个函数值Y已经远远大于五了,那显然不能满足公司要求,公司要求奖金总额不能超过5万元.

00:06:29

好,这一点不能满足.

00:06:31

好,对于二第二个模型,Y等于1002的X米,由函数图像,我们要借助于计算器,可以发现他在805到806内有一个点,它满足有个点X0满足100二的X0次方等于,也就刚才我们说它与Y等于五一个焦点,而这个交点横坐标就介于805到806之间,那显然它小于一千.

00:07:01

也就是说在10到1000上它递增,但是当X大于X0的时候,比如说我们举个例子,他就是8055.

00:07:11

X如果比8055要大的话,Y就已经大于五了,这个模型现在也不能满足奖金不超过5万元要求,所以也不符合要求.

00:07:22

好,下面去看第三个模型,那么它在区间10到1000上递增,并且当X等于1000的时候,我再给你算一下,就是你的销售利润已经达到一千了,这个时候带你算一下,Y的值是约等于455,这个时候也就最大值比五还要小,像它符合奖金总数不超过5万元的要求.

00:07:48

而且从刚才的图像上我们能观察到,它也是Y随X增大而增大的,也就是奖金,而随着利润的增加而增加,它同时满足这个要求,所以这个模型我们感觉它是符合公司要求的,当然还有一个要求,奖金总额要不超过这个利润的25.

00:08:09

这条它满足不满足,怎么检验这一条呢,也就是说按照这个模型进行奖励时,奖金总额能不能超过25,也就验证Y比X比值是不是小于等于025,如果小于等于05,那它就满足最后一个条件,如果不行那就不满足.

00:08:31

好,下面我们来考虑它是否小于等于025,怎么考虑这个问题呢,我也可以把不等式进行转化,把X移过来,然后移到左边去变成一个函数.

00:08:44

好,这样考虑的话,这个函数就是log逾期未的X加1025X,当然我只要在十到一千上来讨论就行了.

00:08:57

利用计算机作出函数图像,可以看到它是一个减函数,它的图像是递减的,从这个图像上我们能够看到FX它小于是减函数的话,那么在十的地方取得最大值,FX小于等于F10F十已经是负的了,所以FX始终小于零,FX小于零,也就是它小于零把05,X1项也就得到以期为dx加一,它是小于05X的.

00:09:26

也就是说在10到1000范围内,YBX是始终小于05的,从而说明了这个模型在奖励时候奖金总额不会超过利润的25,综合上面的条件我们可以发现这个模型它同时满足了三个要求,第1Y随X增大而增大,第二奖金总额不超过5万元,第三奖金总额不超过利润的25,它都是都满足了,所以我们说这个模型能够符合公司的要求.

00:10:04

好,今天这节课我们通过一个具体的例子来体会一下如何去比较不同的函数模型,在比较函数模型的过程中,我们运用了很多知识.

00:10:18

好,感谢大家收看,欢迎继续收看晚行十分钟学校的其他内容.<br />

相关视频