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视频 介绍

几种不同增长的函数模型(1)

本节课主要介绍了对于函数y=ax (a>1),y=logax (a>1),y=xα(α>0),存在一个x0,使得当x>x0时,有ax > xα> logax -

明军 周

教师 合肥32中中学一级教师,市综合素质大赛二等奖。

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各位同学,大家好,欢迎来到惋惜十分钟学校,我是数学老师周老师。

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我们前面学习过哪些函数模型呢,大家可以回忆一下,学习过一次函数,二次函数反比例函数,以及我们在前一段时间学习的指数函数,对数函数和幂函数,那么,这些函数模型在解决实际问题中,都有什么应用呢。

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从今天这节课我们就来学习这个问题,集中不同增长的函数模型,首先我们来思考一下。

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我们知道,函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律,我们需要用不同的函数模型来表达,那么面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来进行刻画。

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好,比如说下面这个问题,假如你有一笔资金用于投资,现在用三种投资方案供你选择,这三种方案的回报分别如下,第一种方案每天回报40元,第二种方案是第一天回报十元,以后每天比前一天多回报十元,也就是第一天回报十元,第二天回报20元,第三天回报30元,第四天回报40元,如此规律往下去变化,第三种方案是第一天回报04元很少,以后每天的回报比前一天翻一翻,就第一天是04元,到第二天的时候是08元,第三天的时候就是16元,按照这个规律进行回报,请问你会选择哪一种投资方案。

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这里有三种投资方案,你会选择哪一种投资方案呢。

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好,下面我们要想,我们要选择哪一种投资方案,决定我们这种投资的目的是什么,投资的目的是要获取回报,而且要使得这个回报尽量的多,所以我们要思考的问题就是,根据什么标准来选择投资方案,那也就是哪一种回报他回报的量最多,那这种回报就是我要选择的,也就回报量多者为优。

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好,第二个问题,就如何比较刚才的三种投资方案,如果我们只看单天的回报,显然第一天的回报,而第一种方案它的回报量单天回报量,是最高的,是40,第二种回报这个方案,它的第一天的回报量是十元,而第三种方案,它第一天的回报量只有04元,我们仅仅考虑第一天的回报量,可以吗?显然不行,还有一个问题我们就要考虑,就是在一段时间里我总共获得了多少回报,这一段时间,要根据你的投资时间来进行选择。

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好,这是我们在选择方案之前,先要考虑的两个问题。

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好,下面我们可以先建立刚才三种投资方案,所对应的函数模型,然后再通过比较他们的增长情况,来为投资选择方案提供一些依据。

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好,下面我们就来给每一种方案建立一个模型,设第X天它的回报是Y,方案一每天汇报40元,无论在哪一天他都是Y等于40的,也就是它是固定的回报,每天40元,X属于正整数的时候,Y始终等于40。

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而对于方案二,大家能不能发现它的模型是哪一种,他们第一天回报十元,刚才讲到第二天就回报20元,到第三天就是30元,如此那天他每天回报量应该是天数,第X天它的回报Y应该等于10X,好。

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方案三,第一天回报是04,以后每天比前一天翻一翻,它是满足一个指数型的变化,并且每一天是前一天的翻一翻就两倍,所以它是04,Y等于04×2的X减一次方。

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好,这三种方案,它所对应的第X天的回报量,已经三种方案已经列出来了,如何去比较这三个值呢下面我可以列一个表格,把天数和对应的回报这个量,分别列在同一个表格里去观察,我也可以去思考一下,要对三个方案作出选择,要对它们的增长情况进行分析,那么我们用计算器,算出三种方案所得的回报,增长情况。

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列表如下,看这里就很清楚了,第一种方案每天都是回报40元,那他增长没有增长,每天都是40,而对于第二种方案,他是十二十三十,以此规律往下递增,每天都增长了十元,对于第三种方案,以零点四零点八一点六这样翻番,每天都是前一天的两倍,它的增长量大家看到,第二天比第一天增长04,后面增长量也在翻番,第三天比第二天多了08,如此下去它虽然前面很小,但是后面大家发现增长很快,其实到第30天得时候,他的单天的回报量已经超过两个亿。

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所以这种情况下大家看到,后来它的变化是非常快的,也就是指数性的变化增长是很快,如果我们单看每一天的投资回报的话,显然可以很容易地得到选择,哪一种方案比较合适,单签回报量最高的前三天是方案一,第四天方案一核发二,大家看到都是40元是一样的,第五天到大家比较一下,第五天到第八天,这一段是单天的回报量,是方案二是最大的,他是50到80这一段它是最大,再往下来从D九天开始,大家看到方案三的回报量是最大的,而且它的后面的增长非常的迅猛,非常的快。

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好,这是我们观察单天的回报量。

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好,光看单天的回报量,还不能作为我们投资选择的依据,我们刚才讲,还要考虑一段时间内的回报良好,画出刚才的这三个模型的图像,第一个图像Y等于,40,那它是一条水平的直线,第二图像Y等于10,X这是一条均匀增长的直线,第三个图像Y,等于04乘二的X减一次方,它是类似于指数函数图形的一种增长方式,从这个图上我们也可以判断,大家看到在第四天的时候,方案一和方二有一个交点,那就是在前三天,显然方案一,图像是在上面,我们选择方案一,投资比较合适。

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在三到后面八这一段上,大家可以看到有一段超过40了,前面Y等于10,X这一段都在40之上,而从第九天开始,Y等于04乘二的X减一次方的图像都在下面,两个图像的上方,而且后面它远远在他们的上面,也就是说,如果我们考虑投资时间超过九天,大家讲讲选择哪一种方案可能会比较好一点,从单天回报量来看,可能毫无疑问大家会选择这种方案。

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好,下面我还要考虑的就是刚才我们说了,要考虑一段时间内的总回报量。

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好,我们把累计回报量,列成一个表格放在这里,对于方案一它第一天回报40,第二天累计回报了80,第三天累计回报了120,如此下去因为每天是同样的40,所以每天比前一天多了40,而对于方案第一天回报的事实,第二天又回报了20,所以累计就是30,第三天又回报了30,所以累计就是60,按照这种规律往下,对于方案三第一天04,第二天回报08,加在一起一点儿,第三天16,加在一起是28,它按照累计回报表汇报,从这个表上来看,如果我们选择投资一段时间,应该怎么去观察选择哪一种投资方案呢。

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像我们比较一下,从累计回报量,在前面六天,都是方案一是最大的,而到第七天的时候,大家注意到方案一和方案二的投资怎么样,是一样的,都是280,在八到九8到10,这个时候大家可以看到,这一段上,方案二是最大的发20岁的,而超过十以后累计回报就是方案三,当然后面如果再列的话,肯定都是方案三的累计回报是最大的,下面根据这个表格,结合刚才前面那个表格,我们就可以很轻松地,选择一种比较合适的投资方案了,也就是投资,如果在1到6天,我们应该选择方案一,因为他获得的累计回报是最大的,投资七天,我们选择方案一和方二都是一样的,投资8到10天的话,我们可以选择方二,获得的收益是最大的,投资超过十天也就投资11天,含11天的投资11天以上的,我们应该选择方案三,这时候能够给我们带来更大的收益。

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好,这个题目我们通过具体的分析,比较了三种回报方案,然后选择一种最合适的回报,最高的投资方案。

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今天我们通过一个具体的例子,来体会了不同函数模型,在实际应用过程中如何去选择帮助,我们分析,帮助我们得到一个问题的解。

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