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视频 介绍

用二分法求方程的近似解(1)

本节课主要介绍了对于在区间[𝑎,𝑏]上连续不断且𝑓(𝑎)·𝑓(𝑏)<0的函数𝑦=𝑓(𝑥),通过不断把函数𝑓(𝑥)的零点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法.

明军 周

教师 合肥32中中学一级教师,市综合素质大赛二等奖。

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各位同学大家好,欢迎来到惋惜十分钟学校,我是数学老师周老师.

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前面我们学习了函数的零点和方程根的关系,对于一般的方程,我们只需要通过直接求解就可以求它的根,但是对于稍微复杂一点的方程,往往很难去求解,直接求解得到方程的根,那么怎样去得到方程的近似根.

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那么今天这节课我们来介绍一种方法,用分法求方程的近似解,首先我们来回忆一下前面学习过的内容,第零点的定义,对于函数Y等于FX我们把是FX等于0的实数X叫做函数,Y等于FX的零点引入零点概念以后,我们得到三个等价关系,方程FX等于0有实数根,等价于函数,Y等于FX图像与X轴有交点也等价于函数,Y等于FX有零点,让我们再来回忆一下根的存在性定理,如果函数Y等于FX,在区间AB上的图像是,连续不断的一条曲线.

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并且有F乘FB小于零,那么函数Y等于FX,在区间AB内一定有零点,也就是存在实数C属于AB区间,使得FC等于0.

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这个C也就是方程FX等于0的根,我们也把C叫做函数,Y等于FX的零点.

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好,这是前面我们已经学习过内容,下面我们来思考一个问题,1元2次方程可以用公式来求根,但是没有公式可以用来求这个方程,老NX加2X减六等于0的根,现在我们能不能联系函数的零点与相应方程根的关系,利用函数的有关知识来求解它的根.

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好,要解决这个问题,下面我们来思考一下.

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我们已经知道这个函数FX等于X加2X减六,它在区间2到3类是有零点的,前面一节课我们已经学习过这个内容,并且我们还知道在二到这个函数在整个定域上,也只有唯一的一个零点零点就落在这个区间2到3类,下面进一步的问题是如何找到零点的位置.

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好,我们来想,如果能够讲零点的范围,现在在2到3类,将这个范围尽量的缩小,那么在一定的精度的要求下,我们可以得到零点的近似值,比如说我讲这个区间缩小一半,如果达不到精确度,我再缩小一半,如此下去,我们可以得到零点的一个近似值.

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好,怎么去做,下面我们来看一下,首先取二三这个区间的中点25,用计算器计算得到,F25约等于0084,这是小于零的.

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在前面学习过程中我们知道F2是小于零的,F3是大于零.

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这里我取了重点,得到它的函数值仍然是小于零的,根据根的存在性定理,我们知道下面这根根哪就到这个区间25到三区间内.来了,在2到25中间是没有根的,这样我们就成功的将这个区间缩小了一半,得到25到3这个范围,如果我继续下去再取它的中点275,用计算器算的F275约等于0512,那大家想一想下面这个根又到哪一个区间来.

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因为取了275以后,这个区间又被分成两个区间,是25到275,275到3分成这样两段,要根据根的存在一点,我判断哪一个区间的端点满足函数值乘积小于零,这里F25是负的,F275是正的,这两个乘积是小于零的.

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所以零点又落在25到275的范围内,如此下去我可以继续去把这个范围缩小,从而得到一个范围越来越小的这样一个小区间,使得零点加在中间.

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好,在有限次重复相同的步骤后,在一定的精度下,可以将得到零点所在区间上任意点作为函数,零点的近似值,通常情况下我们就取端点作为这个函数的零点的近似值.

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好,下面我们把刚才这个例题解题的步骤来看一下,根据下表计算函数FX等于X加2X减六在区间2到3粒的精确到001的零点的近似值.

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好,首先我们看表格,第一步取2到3的中点区间中点25计算得到0084,此时这个区间的长度2到3区间长度是一,下一步我们得到零点在25到3之间,继续去终点275,得到终点的近似值是0512,此时区间的精确度已经变成05了,重复上面的步骤,我们可以看到这个区间是越来越小,精确度也越来越小,到哪一步满足我们精确度达到001的要求了.

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那是后面这一步,大家看这一步前面一直都不满足,到这里它比精确度还大,但到这一步,这个值比精确度001要小了,也就是说计算到这一步已经达到精度的要求了,所以我们可以去下结论,也就是观察这个表格0007815小于001,所以我们就取这个区间端点X等于253125作为函数,FX等于狼X加2X减六零点的近似值,当然有同学说我取右边这个端点,X等于25390625也可以,或者你在这个区间内任取其它的点也可以.

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好,这样我们通过把一个区间每次一分为二的方法,来把这个区间零点所在的区间范围逐渐的缩小,从而找到了满足要求的零点的近似值,那这种方法就是我们今天所讲的二分法,下面我们给二分法下一个对于在区间AB上,连续不断且FA乘FB小于零的函数Y等于FX.好,这个前提条件非常重要,这个前提条件是决定了这个函数的零点,能不能用二分法来进行求解,通过不断的把函数FX的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐渐逼近零点,进而得到零点近似值的方法就叫做二分法.

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好,大家注意分法的前提条件在区间AB上要连续不断,这是第一个条件,第二个条件满足F乘LB小于零,其实这两个条件也就是根的存在性定理描述的两个重要内容.

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好,满足了这样两个条件以后,我们就可以去用二分法来把区间零点所在的区间逐渐的进行缩小,从而要得到零点的近似解.

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好,今天这节课我们从一个具体的例子出发,体会了二分法在解题过程中的具体操作,感谢大家收看,欢迎继续收看十分钟学校的其他课程.<br />

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