{{'Please rotate your device to landscape mode' | trans: locale}}

视频 介绍

零点存在性定理的应用2

本节课主要介绍了如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)∙f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0 的根.

明军 周

教师 合肥32中中学一级教师,市综合素质大赛二等奖。

{{trans['order Lesson']}}
00:00:00

大家好,欢迎来到十分钟学校,我是数学老师周老师。

00:00:09

前面我们学习了根的存在性定理,那么根的存在性定理,只是让我们有一种方法,能够判断在某个区间内函数是否存在零点,或者说方程,FX等于0,是否有跟,如何去判断根的个数呢今天这节课我们接着来学习。

00:00:31

好,首先我们来回忆一下跟着成员定理,如果函数Y等于FX在区间AB上,它的图像是连续不断的一条曲线,并且有FA乘FB小于零,那么函数Y,等于FX在区间AB里,就有零点,也就是说存在C属于AB这个区间,使得FC等于0,这个C就是方程,FX等于0的根。

00:00:59

好,问题来了,满足上面两个条件,那上面的两个条件,大家看到,一个图像是连续不断的一条曲线,这是一个条件,第二个条件就是FA乘FB小于零,满足这两个条件,那么,函数就在指定的区域内存在零点。

00:01:20

那么这个零点,是否只有一个,或者说有几个零点。

00:01:26

下面要解决这个问题,我们就来讨论一下,首先我们来看这样一个图,这个图前面我们也引用过,如果满足了前面的条件,首先图像是一条连续不断地曲线,这条已经满足了。

00:01:44

第二条,FA乘FB小于零,此时我在后面选了几个位置,大家看B在哪些位置,能够满足FA乘FB小于零呢?好,那显然,B在这样一些位置可以,B在这里的时候,可以我把这个位置叫做B,这时FA和FB1是一正一负的,它的乘积是小于零的,也就是在A到B这个区间上,它满足F乘F的B小于零,在AB这个区间A到B这个区间上,我们能够看到它存在零点,而且此时只有一个零点。

00:02:32

好,还有呢,大家看B往后移到这里就不行了,RA是F2证的F币就负的了,也是正的,这是乘积挣得不是小于零的。

00:02:45

好,B在这里找我把它叫做B2,如果移到这个位置的话,FA和FB2的乘积也小于零,也就是说,在这个区间也满足,FA和FB2的乘积也是小于零的。

00:03:06

在这一段上,大家看到,这个函数图像与X轴有三个交点,也就是说这个方程FX等于0,有三个根。

00:03:16

好,继续把这个点往后移,那一道这里是不满足的,FA和FB都是正的,乘积是大于零,那一道这里的时候可以,我把这个位置叫B3,在A到B3这一段上,它也满足FA乘F的B3小于零。

00:03:42

在这一段上大家看一下,这个时候函数图像连续不断,那么,它满足FA乘FB3,小于零图像与X轴,有五个不同的交点。

00:03:55

对应的这个方程FX等于0,就五个跟,如何去根据B1的位置,来判断这个根的个数。

00:04:06

当然,我们更关注什么时候,B在什么样的位置时,那么这个时候,在这个区间上,这根是唯一存在的。

00:04:17

好,通过刚才这个描述,大家看到,在第一个位置这个位置时候,这个根是唯一存在的。

00:04:26

这个位置和后面有什么区别呢,如果在B这位置的话,大家看到在AB这一段上,这个函数它是单调递减的,这一段有这样的单调性在里面,所以,图像从FX大于零穿到FX小于零的时候,它只有一次穿过X轴的机会,所以它的根是唯一存在的,到B2的位置,它也满足FA乘2B小于零。

00:04:56

但是在中间图像,大家看到有降有生,也就是有减有增,那也就是不是单调的。

00:05:06

所以这个时候它的根就不宜了,在后面也一样。

00:05:12

所以我们有这样一些结论,如果Y等于FX,在AB上是连续不断的单调函数,注意,这里有两个条件,连续表示这个图像是连续不断的,而且要是单调函数,并且,在这个闭区间的两个端点上的函数值互益,也就是满足FA乘FB是小于零的。

00:05:38

那这个条件大家看,比我们前面根的存在性定理,里面就多了一个条件,就是单调性。

00:05:48

多了一个单调性,这个时候加了单调性进去以后,我们就能判断这个函数,在AB开区间内零点只有一个,我们就能判断它只有一个零点,我们也把这个定理,叫做这个函数零点的唯一性定理。

00:06:11

我们用这种方法,去判断函数零点是否唯一。

00:06:16

大家要注意微型定理和存在性定理,就多了一个为多了一个条件,就这个函数需要是单调的,需要单调。

00:06:25

好,下面我们来看这样一个题目。

00:06:29

利用函数的图像,指出函数FX等于负X的三次方减3X加五,它的零点所在的大致区间,并判断该区间内零点的个数。

00:06:43

好,首先我们要做这个函数的图像,因为他要利用图像,来指出零点的大致区间。

00:06:50

所以这个简图主要画的相对准确一点,我们就能够判断它的大致区间了,这里不需要非常精确。

00:07:00

好,我们作出函数图像,这个函数图像在这里我们做出来了,从这个图像上,大家能看到它这个根,如果我们把范围稍微放大一点,那么可以看到在0到2上。

00:07:13

如果再小一点,我可以看到它在1到2上,如果下面再向小一点,大家就要考虑了,把1到2这个区间在两等分的话,它我们从这里能够大致判断,在1到15上,能不能准确就断定他一定在1到15上,可能就有困难了。

00:07:35

我们应该通过计算,来加以辅助判断。

00:07:39

通过计算,我们的F1是大于零的,F1正好带进去,就是一,它比零大,而F15,我们代进去算一下它小于零,那就满足了在1到15区间上,大家看,在1到15区间上,我们看一下,在1到15闭区间上,F1的位置是正的,F2的位置是,F15的位置是负的,也就是满足FA乘FB是小于零的,且这个图像在这一段上,也是一个连续不断的曲线。

00:08:22

所以根据前面的存在性定理,我们知道,在这一段上一定有一个,爱一定存在零点。

00:08:30

好,我们就判断了在这一段上,区间1到15上有零点,下面还要指出,在这个区间1到15,它的零点的个数,有几个。

00:08:44

当然从图上只能看出它有一个,我们知道这个图是一个简图,如果要精确作图的话,是不是一定只有一个,我要用这个判断,我们因为手工作图无法精确判断。

00:09:02

大家通过前面的学习,我们知道,我要判断它的零点是否唯一,我可以通过,考虑这个函数在这个区间上它的单调性来判断。

00:09:14

如果是单调函数,那我可以判断它一定是唯一的;如果不是单调函数,那还不一定,可能还有其他的情况。

00:09:22

好,这里我们可以判断,FX在负无穷到正无穷,他的定原则上,而在这上面都是讲函数,可以简单判断,这里负X的三次方是减得,后面是个一次函数3X加五,这个一次函数也是减的,所以我们FX,在定义域R上是减函数。

00:09:42

既然是单调函数,那么在这一段上,肯定也是单调的,所以,在这上面它零点只有唯一的零点,在区间1到15上,有且只有一个零点。

00:09:59

好,今天这节课,我们进一步学习学习,通过学习,我们知道如何去判断,函数在某个区间上,它的零点存在是唯一的。

00:10:11

那么,就要在前面根的存在性定理里面加一个条件,跟着存在,第里面有两个条件,一个是函数图像是连续不断的,第二个条件是在区间端点处,FA和FB的乘积小于零,我们再加上函数,如果在AB这个区间上是单调的,那么这时候,我就可以判断这个函数在这个区间上,它的零点是唯一存在的。

00:10:36

好,感谢大家收看,欢迎继续收看十分钟学校的其他课程。<br />

相关视频