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视频 介绍

零点存在性定理的应用1

本节课主要介绍了如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)∙f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0 的根.

明军 周

教师 合肥32中中学一级教师,市综合素质大赛二等奖。

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00:00:00

大家好,欢迎来到十分钟学校,我是数学老师周老师。

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前面我们学习了根的存在性定理,也就是函数的零点存在性定理,那么这个定理的理解上,还需要哪些注意的地方呢?这个定理在我们解决问题过程中,到底怎么去应用,今天这节课我们接着来学习。

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好,首先我们来回忆一下店里的内容,如果函数Y等于FX在区间AB上,它的图像是连续不断的一条曲线,并且满足FA乘FB小于零,那么,我们就说这个函数Y等于FX在开区间AB内有零点,也就是存在实数C,属于AB这个开区间,使得fc等于0。

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这个时候这个C,就叫做这个方程的根,就是这个方程的根,也叫做这个函数的零点。

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好,这个定理我们在理解的时候,有一些需要强调的地方,下面我们通过几个图来展示一下。

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好,第一个图大家看一下,在AB这个区间上,我们看一下,是否满足刚才定理所叙述的条件。

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函数是一条连续不断地曲线,很好,在这个区间上它也满足,FA是正的,FB是负的,FA乘FB是小于零的,像图像与X轴有交点,也就是这个方程,有实数根。

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好,对于第二个图形在AB这个区间上,图像满足是一条连续不断的曲线,并且也满足FAR和FB的乘积是小于零的,此时F大家看到是负的,FB是正的,所以乘积是一正一负的,在AB这个区间上,大家看到图像与X轴有交点,而且此时还有多个焦点,有五个交点,它所对应的这个函数是有零点的,或者方程FX等于0是存在着实数根的。

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好,对于第三个图像,大家看到在AB这个区间上,这个图像与X轴有没有交点了,它也满足FA乘FB小于零,但是它不满足第一条,就是FX图像Y,等于FX图像在AB上,不是一条连续不断的曲线,这里我们能够看到在这个位置间断了,图像正好与X轴没有交点,它对应的方程函数的图像就没有零点,方程就没有实数根了。

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好,那么,第四个图像大家看到,它满足了这个函数图像在AB区间上,是一条连续不断地曲线,但是它不满足第二条,FA乘FB小于零,此时FA是正的,FB也是正的,FA乘FB是大于零的,我们从图上可以看到,这个时候函数图像与X轴没有交点,也就是方程没有实数根,函数Y等于FX就没有零点。

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我们要思考一个问题了,这个定理里面需要强调的两点,第一像这种图形不行,因为这个函数图像在AB这一段上,不是连续不断的,所以我们一定要注意,在AB这个区间上,要是连续不断的一条全第二图像,看到它没有原始轴,没有交点,也就是它方程没有实数根,或者说函数没有零点。

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因为它不满足,我们店里描述的第二个条件,FA乘FB小于零这个条件。

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从这里的理解,我们知道必须要满足这样两个条件,这个根FX等于0,这个根才存在。

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我们要问了,满足了这样两个条件,它就存在跟如果存在,跟是否一定满足这两个条件。

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好,下面我们来看一下这样一个图形,这个图形,是我们前面研究过的一个图形,那么在这里,我们也做了一段连续不断的曲线。

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好,这个条件,我们让它满足在AB趋向A在这里,B我这里设置了几个位置,假如在这里或者后面的某个位置上,我们来看一下它,FA和FB的乘积,对我们这个根的存在性有什么影响。

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好,首先如果我让它满足第二个条件,就是F乘FB仍然小于零,此时大家知道be可以在这样的位置,B在这里面可以,这个时候FA是正的,FB是负的,FA乘FB是小于零的。

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除此之外,B如果在这里也可以,B在这里的话,FA是正的,lb也是负的,此时FA乘FB也小于零。

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如果B在这里也可以,看看FA证的FB是负的,SA乘FB也小于零,这个时候我们发现,这样的位置都能够找到函数图像与X轴交点,也就说,这个方程FX等于0的根都存在在第一个位置,AB这个区间上大家看到有一个交点,在第二个位置,B在这位置。

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那么AB这个区间,大家看到有三个交点,在第三个位置,B如果在这个位置的话,大家看到在这个范围内,区间范围内,我们能够找到五个交点,也叫对应的方程,FX等于0的根有五个。

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由此,我们就能得到第一个结论,如果满足了F乘FB小于零,当然前提是这个条件,这个时候,我们一定能够得到这个函数,Y等于FX在区间AB内有零点,但是有几个我们要根据B的位置来判断,像刚才B在这个位置,它有一个B如果在这个位置,我们看到它有两有三个,B如果在这个位置我们看到它有五个,所以,我们能够判断它一定有零点。

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好,反过来,如果这个函数Y,等于FX在这个区间AB内有零点了,是不是一定要求FA乘FB小于零呢?下面我们让B在移动位置,大家看一下。

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好,如果B在这里的话,大家看一下,此时FA是正的,大家可能看到fm是真的,而FB也是正,这个时候F乘FB,显然是大于零的。

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但是在AB这一段上,大家看一下,它有没有图像元素,有没有交点,那显然有,I不但有,而且还有两个焦点。

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也就是说这个函数,在这个区间,AB上他也有零点,也有零点。

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除此之外,大家想,必如果在这个位置也可以,B如果在这位置的话,那么F证的FB也是正的,在AB之间,大家看到此时有四个交点,图像与X轴四个焦点,也就是说,它所相应的函数在AB区间上有四个零点。

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由此看来,函数如果在AB这个区间上有零点的话,我们并不需要它一定满足这个条件,也就是说,函数在这个趋向有零点的话,不一定能够得到F乘FB小于零。

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好,这里大家要注意,由F乘FB小于零,我们可以判断它一定有零点,但是如果有了零点,并不一定要前面这个条件是成立的。

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好,这一点需要大家注意。

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好,下面我们来看根层定理的应用。

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零点采用定理应用,求函数FX等于la X加2X减六,它零点的个数。

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函数,大家知道我们要求它零点的个数,我们有两种想法,一种根据等价关系,我能够求出它的方程,X加2X减六等于0的解的个数,我就能判断这个零点的个数了,但这个方程求解比较困难。

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那么第二条思路,第二条想法就是什么,如果我能够画出这个函数,FX等于la X加2X减六的图像,我能观察到这个图像与X轴有几个交点,我也就能够判断这个函数有几个零点。

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好,既然解方程比较困难,下面我们来通过画这个函数图像,来判断一下,零点的个数。

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首先我们用计算器,当然也可以借助于计算器,来做出一阻值RX取1到9的时候,对应的FX的值,我们把它算出来,然后我们在这个坐标系里描出这样一些点,把这些点描出来,描完以后,我们用一条光滑的曲线连接起来,这就是我们描点法作图的一般步骤。

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号,用一条曲线连接起来,通过观察图像,大家发现这个图像与X轴有一个交点,而且,我们这上面看出来它只有这一个交点,当然我画的图像只是在1到9这一段上,这个时候图像与X轴有交点了,我就一定可以判断这个函数存在着零点,但是零点在哪个位置,那么,我们稍微细致一点来观察一下。

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根据刚才零点四零点,我们知道,它在AB上存在零点的话,一定要满足FA乘FB是小于零的,此时,我们通过观察知道这个函数在这段上是增的,there这个地方函数值是负的到三个地方,函数值是正,所以这里2到3趋向满足,F2小于零,F三大于零,也就是F2乘F3是小于零的。

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所以我们知道在2到3上,2到3这个区间里面一定有零点。

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好,下面我就要判断它有几个零点,因为本题要我们判断函数零点的个数。

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大家想,这一段上只有一个,他可不可能,在这边,还会下来,或者说在这边他还会上去。

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这个时候,我们可以考虑下这个函数的单调性,通过分析,我们知道这个函数在它的定义域,零到正无穷内都是增函数烂,X这一部分是增的,随着X增大,而后面是一个一次函数,X减六它也随着X增大而增大。

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所以,我们FX这个函数,在定义域内是增函数,既然是增函数,那么,这个图像后,面就不可能再下来穿过X轴,也就是说它一定只有唯一的零点。

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好,今天这节课,我们来分析了这个根的存在性定理,需要注意的地方,以及我们应用跟着曾经定理,去解决了这样一个求零点的个数问题。

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好,感谢大家收看,欢迎继续收看十分钟学校的其他课程。<br />

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