{{'Please rotate your device to landscape mode' | trans: locale}}

视频 介绍

函数零点的存在性定理

本节课主要介绍了如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)∙f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0 的根.

明军 周

教师 合肥32中中学一级教师,市综合素质大赛二等奖。

{{trans['order Lesson']}}
00:00:00

大家好,欢迎来到十分钟学校,我是数学老师周老师。

00:00:09

上一节课,我们学习了函数的新的概念,函数的零点。

00:00:14

通过上节课学习,我们知道有些函数有零点,也有一些函数可能没有零点。

00:00:20

到底我们怎么去判断一个函数存在零点,还是不存在零点,那么今天这节课,我们将带领大家学习这个问题,函数零点的存在性定理。

00:00:34

让我们先来回忆一下前面学习过的内容。

00:00:38

什么是函数,零点就是对于函数,Y等于FX,我们把FX等于0的实数X,就叫做这个函数的零点。

00:00:48

特别强调的就是,零点不是一个点,它仅仅是一个实数,是使得FX等于0的方程的解。

00:00:58

好,我们也知道了这样三种等价的描述,就是方程FX等于0有实数根,等价于函数,Y等于FX的图像与X轴有交点,也等价于函数,FX等于Y,等于FX有零点。

00:01:18

好,这三种描述是等价的,下面我们就来考虑一下,如何去判断一个函数,在某一个范围内,它有没有零点。

00:01:31

好,我们先来观察这样一个特殊的二次函数。

00:01:37

Y等于X方减2X减三,看一下它的图像,这个时候,我们通过描点做出它的图像,我们发现了它的图像,在区间2到一之间有零点。

00:01:55

好,我们把这一段单独看出来,2在这里,到一之间就函数这一段,它有零点。

00:02:08

零点,我们通过前面的学习知道,也就是这一段,图像与X轴有交点,这个焦点在这地方有。

00:02:17

好,此时我们来看一下,计算一下F2和F1的乘积。

00:02:23

F2,我们带你算一下,大家看一下,F2等于多少呢?这里是四减去2乘2,那就加上48,再减去3F二三15。

00:02:39

好,再看一下,F1,F1,X平方是一减去这里是二,再减去三,那结果是4。

00:02:54

号,通过计算,我们发现F2是五,F1是四4,它们的乘积,显然是小于小于零的,乘积是小于零的。

00:03:12

好,同样,我发现了,除了这个图图像与X轴有焦点以外,还有一个交点,这个交点从图像上我们能观察到,它的位置在2到4之间,在这个区间2到4上,我们来算一下,F2和F4,是不是也有这样的结论呢?好,我们也来算一下,F2带进去,这是四,减去这里,也是四,没有了,结果等于3。

00:03:48

号,F4,4的平方是16,减去2×四八,还剩八再减去三,结果等于5,经过计算,我们发现F2和F4的值也是一正一负的,所以它也有这个结论,就是F2乘以F4也小于零。

00:04:20

这样我们就从特殊的例子入手,我们就可以去想象,是不是在零点所在的小区间里,这个端点处的值都是一正一负的,也就是零点所在区间,端点值总是一号的。

00:04:39

好,带着这个问题我们来探索一下。

00:04:44

看下面这个图形,这是一个一般的函数图像,Y等于FX,那么首先我们来看一下,这个函数图像是不是连续的。

00:04:52

显然中间在这一段上,中间是没有间断的,所以它是连续的,是连续的,毫无疑问。

00:05:03

好,下面我这里给了自变量的几个值,ABCD我们先看一下,在AB这个区间上,图像与X轴有一个交点,根据前面的等价关系,我们也可以说函数在这个范围内,AB这个区间内,它应该是有一个零点的。

00:05:28

通过研究AB2点处的值,大家看到FA是负的,而FB它的值是正的,所以,FA乘FB是小于零的。

00:05:44

此时图像与X轴有一个交点,也就是函数在这个区间上有零点。

00:05:52

好,同样,大家在看在bc这个区间上,FB是正的,RFC它的函数值,在下面大家看到它是是负的,这个时候,FB乘以fc也是小于零的,在这一段上,我们观察到函数图像与X轴也有一个交点,也就是说,函数在AB这个区间内也有零点。

00:06:19

好,那么后面还有个cd区间,fc刚才我们说了它是负的,而FD在这里,我们看到它是正的函数,值一1正,那么它的乘积也是小于零的。

00:06:41

在这段上图像与X轴也有一个交点,那也就是说,函数在这段里面也有零点。

00:06:50

好,也有零点,通过这个图像我们这里的分析,我们应该更加缺陷,就是说零点所在的较小的范围内,它那个区间两个端点处的函数值,应该是一正一负的,或者说如果在某一个区间内,它两个端点处的函数值一正一负的话,我们可以去判断在这个区间内,函数是有零点的。

00:07:25

因为观察它的图像,我们知道一正一负,这个图像在连续的状态下,一定要穿过X轴。

00:07:33

好,这就是我们今天所讲的函数,零点函数根的存在性定理,或者零点的存在性建立。

00:07:43

好,如果函数Y,等于FX在区间AB,在某个区间上,在某个区间上,图像是连续不断的一条曲线,注意这个条件一定要连续不断,并且有FA乘FB小于零,也就是在这个端区间两个端点处,A和B两个端点处的函数值,是一正一负的。

00:08:16

大家想一下,这个时候根据刚才的描述,既然一正一负图像又要连续不断,那么一定画起来以后会穿过X轴,也就是说,这个函数Y等于FX在这个区间内,就一定有零点。

00:08:34

也就是说存在一个实数,C在AB这个区间上,使得FC等于0,这个时候,C我们就叫做这个方程的根。

00:08:47

好,请大家注意一下,这个定理里面,描述涉及到区间AB这个区间AB的写法,这里是包括端点的,而这里和这里都是不包括端点的,这个地方包括端点,就要使得FA和FB要存在,这样我们就能够判断FA乘ob的符号了,而后面因为这里不等于0,说明F和FB一定都不为零,那就在开区间内,我一定能找到这样的数C使得fc等于0,这个时候我们把C就叫做这个方程的根。

00:09:37

在根的存在性定理,也叫零点的存在性定理里面,大家要注意的,两点,第一是,函数图像一定要是连续不断的一条曲线;第二,它要满足在AB这个区间,两个端点处的函数值,一正一负,也就是端点处的函数值,是一号的保证,FA乘FB小于零能够成立。

00:10:03

这样,我们就能够判断它在这个区间上,一定存在零点,也就是能至少能找到一个C,在这个区间上,使的fc等于0。

00:10:17

今天这节课,我们学习了函数零点的存在性定理,也叫做根的存在性定理,如何去判断函数的根,这个函数的零点是否存在,或者说方程的根是否存在,我们要注意定理描述的两个重要条件,第一个条件,函数的图像,一定要是连续不断的一条曲线,第二在AB这个区间的端点处,FA和FB的乘积要小于零。

00:10:47

好,感谢大家收看,欢迎继续收看十分钟学校的其他课程。<br />

相关视频