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视频 介绍

一元二次方程与二次函数

本节课主要介绍了一元二次方程的实数根就是对应的二次函数图象与x轴交点的横坐标

明军 周

教师 合肥32中中学一级教师,市综合素质大赛二等奖。

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大家好,欢迎来到十分钟学校,我是数学老师周老师。

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前面我们学习了两种新的函数,指数函数对数函数,结合初中我们已经学习过的函数,到目前为止,我们已经学习了,一次函数,二次函数以及反比例函数,以及我们现在,高中刚刚学习过的指数函数和对数函数。

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学习这些函数到底有什么应用,今天这节课我们就来学习这个问题。

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好,函数的应用,在学习函数应用的前提,我们先要了解一下,1元2次方程和二次函数的关系。

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好,我们来看一下,1元2次方程,它的一般形式,是AX方加BX加C等于0。

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当然A不能等于0,因为当A等于0的时候,这里的二次项就没有了。

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它的根与二次函数Y,等于AX方加BX加C,等于0。

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它的图像之间有什么关系呢,当然对于二次函数来说,我们一定要注意,强调二次项的系数A不能为零。

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好,要研究1元2次方程的根,和对应的二次函数图像的关系,我们先来从几个具体的1元2次方程,和它所对应的1元2次函数,来看一下它们的关系。

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这里我们给了三组,让我们求出,表中这三组1元2次方程的实数根,画出相应的二次函数的图像的简图,并写出函数图像与X轴的交点坐标。

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好,第一组方程式,X方减2X减三等于0,那对应的函数,就是Y等于X方减2X减三,好,首先我们来看一下这个方程的根,那这个方程的根求解比较简单,我们用这个十字相乘法,可以把它写成,X加一乘以X减三等于0,这样我们求出它的两根,一个是X1等于1,X2等于3,对于第二个方程,X方减2X加一等于0,这个方程大家都能注意到,它的左边,正好是一个完全平方式的形式,也就是,它可以写成X加1的平方等于0,所以,它的解就是X1X二都等于1,其实这样的方程,我们说它有两个相等的实数根。

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好,对于第三个方程,那要解这个方程,我们给他先判断一下这个方程,我们看也不能用十字相乘法,也左边也不是一个完全平方,稍微判断一下,大家发现B平方减4AC,它是小于零的,在初中学习1元2次方程的时候,我们知道当B平方减4AC小于零,也就是德尔塔小于零的时候,这样的1元2次方程没有实数根,所以,它的根是没有实数根的。

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好,分别来看一下,这三个方程对应的函数,第一个方程它对应的函数,那它的函数图像,我们要把它画出来的话是这样的,通过描点画图画出这个函数的草图,简图是这样的,从这个图像上大家可以观察出来,这个图像与X轴有两个交点,一个焦点在X1在1,也就与X轴交点是一零,这个地方还有一个焦点,是三零这个位置。

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好,这样从图像上能够看出这一点。

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第二个,第二个方程,它定的函数是Y等于X方减二X加一,刚才,我们说这个方程它有两个相等的实数根,那么它对应的图像,此时画出来与X轴是由唯一的交点,交点正好也是二次函数图像的点点,此时,交点的坐标就是在A与X交点坐标应该是一零。

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好,对应的第三组,这个方程,它对应的函数是Y等于X方减二,X加三。

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刚才我们说了,这个方程它没有实数根,我们初中时候学习,知道画出它的函数图像的话,它的图像与X轴也没有交点,也没有交点,因为这个时候德尔塔小于零,图像开口向上,全部位于X轴的上方。

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好,这时候我们说它与X轴没有交点,这里观察一下,这里的1元2次方程的解的个数,和相应的1元2次函数,他们的与X轴交点的个数,我们发现是相等的。

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当1元2次方程有两个解释,有两个不同的实数解,是这个时候,它对应的1元2次函数的图像,与X轴也有两个不同的交点。

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当1元2次方程有唯一的实数解释,或者说有两个相等的实数解释,此时所对应的二次函数的图像,与X轴有唯一的焦点,那么这个点,正好是相应二次函数图像的顶点。

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好,当1元2次方程它没有实数解释,对应的二次函数的图像,与X轴也没有交点。

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那这样的一关系,它对于一般的1元2次方程,和相应的二次函数图像之间能不能成立呢?好,我们知道,上述这种关系对一般的1元2次方程,AX方加BX加C等于0,A不等于0,与他们所相应的二次函数Y,等于AX方加BX,加CA不等于0,这种关系仍然成立,我们要把这个关系概括一下,下面,我们以A大于零作为例子来分析一下。

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好,首先我们根据刚才的分数,我们知道,我们要分析这三种关系的话,应该从德尔塔作为入手,来分分项讨论。

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当德尔塔大于零的时候,那么这个时候,它对应的这个方程有两个实数根,我们把它记为X1,X二。

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这个时候,这两个xx是不相等的,当德尔塔等于0的时候,它有唯一的实数根,当然也可以说它有两个相等的实数根。

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好,这时候X1和X2是相等的,当德尔塔小于零的时候,这个方程是没有实数根。

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好,下面,我们也来把它对应的二次函数图像给画转。

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第一种情况,德尔塔大于零的时候,它与这个方程有两个不相等的实数根,对应的函数图像与X轴有两个不同的焦点,我们记作X1X二,当德尔塔等于0的时候,它有两个相同的实数根,图像与X轴是有唯一的交点,这个交点也就是X1或者说用X2来表示。

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好,当德尔塔小于零的时候,图像与X轴是没有公共点的,没有公共点的。

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我们只是分析了开口向上的情况,那么,开口向下也一样的可以去讨论。

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好,下面,我们再来把它这个图像与X轴交点写在下面。

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第一种情况图像与X轴两个交点,这个交点坐标分别是X10和X20,大家注意一下,交点的纵坐标都是零,因为这个点它在X轴上,但是它的横坐标,与前面方程的根之间有很大的关系。

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大家发现这两个交点的横坐标,分别是前面这个方程的两个实数根,对于德尔塔等于0的情况也一样,此时图像与X轴有唯一的交点,这个交点的横坐标是X1或者写成X2,我们学习过1元2次函数图像,我们知道这个时候,X1和X2都等于2A分之B,也就是它与对称轴所在的位置,是同一个位置的。

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所以这个交点坐标,我们有时候简单的记为负A分之B0。

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好,当德尔塔小于零的时候,因为,我这里的函数图像与X轴没有交点,所以它与X轴交点个数就是零了。

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此时我们说没有交点,这里我,们从刚才的几个具体的1元2次方程和相应二次函数的关系,推导到一般的1元2次方程,和它相应的二次函数图像的关系。

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主要我们是来观察一下,这里1元2次方程的根,与二次函数图像与X轴交点,有一些交点的横坐标,这是之间的关系。

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好,今天这节课,我们从几个具体的1元2次函数和1元2次方程入手,然后讨论了一般的1元2次函数和1元2次方程之间的关系,如果我们知道了1元2次函数图像,与X轴交点的个数,我们也可以,反过来判断1元2次方程的解的个数。

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同样,如果知道了1元2次方程解的个数,我们也可以判断1元2次函数图像,与X轴交点的个数。

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好,感谢大家收看,欢迎继续收看十分钟学校的其他课程。<br />

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