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视频 介绍

章末复习课

本节课主要介绍了指数式与对数式的互化关系;三个初等函数的图象性质

华 丁

教师 合肥市骨干教师、区学科带头人。

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大家好,欢迎来到十分钟学校,我是数学老师丁华老师。

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今天我们对第二章的内容,做一个简单的梳理。

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樟木的复习课。

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我们在第二章当中所学过的内容有哪些,下面,我们以这样一个表格的形式来呈现了,基本初等函数,在本节本章当中,主要指的是指数函数,对数函数,和幂函数这样三种函数,在指数与指数函数当中,我们主要是学习了,指数的一种运算问题,从原来的整数的指数幂运算形式,推到了R级范围,也就是说,有理数指数幂,无理数指数幂,一直到R级范围当中,并且在这里面,要注意整数的分数的指数,谜语根式的一个互化的情况。

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好,指数函数,主要了解了指数函数的定义,和它的图像与性质问题,对于对数与对数函数问题,我们也是先了解了对数的运算定义,以及它的运算性质,在了解了对数函数,对数函数的定义以及它图像与性质,其中在指数函数和对数函数学完以后,我们又做了一个说明,指数函数与对数函数之间,我们说互为反函数,第三个方面,就学习了最后一种幂函数,幂函数主要学习了定义以及图像与性质,也就是每一个函数它的类型,我们首先要知道,它的解析关系所符合的一般规则,以及它的整个图像的基本情况。

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好,那么下面我们就来看一下例题,第一个问题,我们给出了两种形式的计算,第一种形式,实际上也就是一种指数形式的计算,其中还有根式结构。

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第二种是关于对数形式的计算,还有一些恒等关系的变形,那么对于第一个问题,如果我要计算一些分数指数幂,以及跟式结构混合的一种形式时,请大家注意它的做法的规则,是一般来讲,我们首先可以把根式结构,比如说,像这种三次根号下AB,以及后面三次根号下A分之B,全部化成分数指数幂,所以,我们就可以得到第一个问题是A的13,上面的分子提出一个A13,那么,通过分数指数分数的有关运算,知道提高A13后,这里面就是A减八倍的B,那么下面是四倍的B的23次方,我们给它写成二倍的B的13的平方,加上二倍的A的13B13,再加A13的平方,好,那么这个结果是除以它,所以也就是乘以它的岛式结构。

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那么,导视情况是A13除以A132倍的B13,这里面要用到一个公式,我们发现,这里面是二倍的B的13,还有一个A的13,实际上,就是A减B乘以A方加B方,加AB,所以,它是一个立方差公式的一个应用,因此么就把整个的分母,变成了A减三八倍的B,为什么,因为,实际上就是A13的三方减二倍B13的三方,所以这个结果,变成了A减八倍的B,这样与上面的A减8B就可以抵消约分掉,这样就变成了,AA13乘以A13,再乘以A13B13,那么,因此利用分数指数幂,得到A乘三次根号下B,那么最后的结果,我们还是尽量用根式结构表示,这是关于第一个问题的计算。

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第二个问题我们先把相应的情况做个调整,我们来看一下,二倍的log3为底二的对数,可以写成log3为底四的对数,这样第二个不用变化,第三个不用变化,那么前三个就是对数的加减运算,我们利用运算的性质,可得是log3为底括号四乘以,这是减法,所以是乘以,也就是除以,九九分之二十三三十二,所以乘以932再乘以八。

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我们综合了一下,那么这里面又出现一个25的log255为底三的对数,那么这个里面,我们首先把它底数变成一样,所以,变成5的平方的log2为底三的对数,再把二提到里面去就变成五的logo,五为底九的对数,那么这是个恒等关系是,所以,最终得到log3为底九的对数,这里面是九减去这个结果,就直接等于9,所以答案是7。

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好,这就是我们本章当中的第一种情况,关于根式和分数指数幂的混合形式计算,以及对数的运算,我们归纳一下,跟是指数式的运算,首先要注意化简的顺序,一般负指数,要转换成证指数根式转换成分式,分数指数幂,然后再进行有关运算。

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同时要注意,分子分母当中的因式分解,是可以进行的,有的时候可以起到约分的作用,对于对数的运算要注意公式的应用,并且还要注意,一些熟练运用到对数恒等式换底公式。

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好,这是关于第一个问题,第二个,我们再来看一下本章中,经常出现的各组数值的大小比较问题,那么我们前面已经说明过,对于对数式指数,是以及同底同指,或者同底不同指等等情况的大小比较问题,一般来说我们首先观察一下,能不能换成其中某一个相同。

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比如说第一个问题,我们发现虽然并不是相同的底值,但是可以转化,例如第一个4的09次方,可以写成2的18次方,8的048次方可以等于2的144次方,12的15次方可以等于2的15次方,这样,通过转化以后变成了同底的情况,所以它是一个指数函数单调的一个应用,Y等于2X函数,在整个函数定义域是一个增函数,所以得到了最终的答案,应该是四的09,大于12的15。

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这主要看它的指数的大小了,所以第一个问题就解决掉了,第二个问题我们发现底部相同,但是它得真数是相同的,所以我们首先,可以用到换底公式当中的一个公式的一个变形,我们把它这个情况,变成log2为底04的对数,实际上可以写成,log04为底二的对数分之一。

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所以,下面我们先来看这样一个对数函数,那么log04为底的函数,对数04的底是大于零小于一的,所以它是一个减函数。

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那么,我们首先可以判断这样三个对数的大小,log04为底四的对数,是小于log04为底三的对数,是小于log04为底二的对数,并且还可以知道整个结果,三个结果都是小于零的。

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好,我们刚刚说了这三个,都可以变成刚才04为底X对数分之一,再结合幂函数中所提到的Y等于X的1次方,这样一个函数,它在负无穷到零上应该是一个减函数,减函数它是两段,一段是在第一象限,一段是在第三象限,我们这些值都在第三象限,它是减函数,所以最终得到log04为底二的对数分之一,这个结果,它比log04为底三的对数分之一,小孩比他小,那么这三个结果,就是上面三个结果的一个对应的一个变形情况,所以最终得到了这三个对数的大小,这是关于比较问题,那么整个的比较问题,我们一般会出现两宿,或者几个数的大小问题,主要考察的是幂函数指数函数,对数函数的一个图像的应用问题,当然也有一些比较,可能只需要用到我们经常所用到的作差比较法,或者是坐商比较法,在这里面,经常用到的是一种单调性或者图像法的一个结合。

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好,当然也有的时候,我们比较两个数的大小的时候,还可以通过一些中间量的一个过桥作用,达到一个桥梁的作用。

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比如说,经常用到零和一作为分界点,还有的是要构造一个数字。

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好,这就是关于比较大小问题的一个归纳,第三个方面,我们来看这样一个问题,这个函数是集合了对数和指数,当中的一些情形,我们说FX是log以十为底的13+2,X次方加A乘以4X次方,在X在负无穷到一上有异议,那么我问A的范围。

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好,我们知道,对于一个对数形式来说,如果它在负无穷到一上有异议的话,我们只要保证整个帧数在负无穷到一上,有一。

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那么换句话讲,就是我要保证13+2,X方加A乘以四,X方大于零,在负无穷到一上要恒成立,也就是说它全部要大于零,分子是分子是大于零的,分母是三,本来就是正直,那么这样的话,我们把原函数,变成了这样一个不等式成立。

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好,那么,下面我们就不妨假定这个关系,这个式子如果成立,由于4X在负无穷到一上是恒正的,所以我们通过不等式基本性质出不来,这样这个题目的不等关系,经过调整以后,就得到了A大于这个结果了,那么这个结果是怎么来的,我们看一下,是I乘以4X方大于2X次方减一,那么由于它是正直,所以我们出过来以后大于怎样,这样一个结果。

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好,如果这个式子在负无穷到一恒成立,那么,下面我们假定右边是一个新的函数,我们不妨假定是GX这个函数,那么大家再来观察一下,GGS这个函数,是两个指数型函数的一个结合,指数函数的结合14X次方14X函数,还有12X函数图像,那么这两个函数,综合一下都可以得到分别是单减的,它是减函数,它是单减函数填一个负号,那就是单针的单增函数单增函数,那么这个结果,就可以肯定是一个增函数。

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好,A如果大于它恒成立的话,我们就说,只要A大于在GX在负无穷当1到1,当中的一个最大值就可以了,所以,等于是找GX在负无穷到一上的一个最值,那么通过刚才的说明,我们知道它是增函数,所以整个的最大值,就是在X取一时所得,从而得到G1等于34,这样这个问题的结果,就是A大于34,那么在本题当中,主要出现了一些对数式和指数,相应函数的一个单调问题,所以对于指数和对数函数而言,我们主要看到底数的一个范围,而对于幂函数来说,只要看到指数的一个范围,就可以得到它的单调变化的不同点。

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这就是我们对上第二章的一个内容的一个归纳,那么在第二章当中,主要的问题还是围绕三个函数进行相关的说明的,所以要分别理解,三个函数的一个解析关系的一个规范,整个形式,还有它的整个的函数的一个图像问题,利用图像,也可以去解决一些比较主要的问题。

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好,这节课的内容就到这,欢迎收看十分钟学校的其他视频,再见。<br />

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