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视频 介绍

幂函数(2)

本节课主要介绍了利用幂函数的单调性比较大小

华 丁

教师 合肥市骨干教师、区学科带头人。

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大家好,欢迎来到十分钟学校,我是数学老师丁浩老师,今天我们一起学习幂函数的图像。

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幂函数,在上节课当中,我们已经知道了,幂函数的定义以及幂函数的图像的一个基本特征,那么这节课,我们再来强调一下,幂函数图像的单调性与,它指数的一个关系的问题。

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好,我们知道对于幂函数图像,总体情况应该分成两个方面。

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如果A大于零的时候,图像是过圆点和一一点的,并且在第一象限的图像是上升。

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也就是说,它在第一象限乘单调递增的一个特征,减函数,如果A小于零的时候,那么图像是不能过原点,也就是说它只能过一一点,也就是它定义域当中,X不能取到零了。

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这个问题实际上也很容易,我们知道,因为A小于零的时候,那么你Y等于X的A次方,实际上是一个分数幂的形式,那么负分数幂,它反映成正分数幂的时候,它在分母的位置上时,那么它对应就不能取X等于0,这是关于函数的关系式的说明。

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好,它在第一象限的图像是下降,也就是说在第一象限是单调递减。

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好,这里面我们在对当A大于零的时候,这个函数图像的一种,第一象限的凹凸性的关系问题,我们说A大于一的时候,曲线是成一个下图的一种状态,A大于零小于一的时候,曲线是呈一种上图的状态,这里面我们可以简单的画一下。

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比如说在第一象限当中,如果我们取AA等于1时,我们知道,它实际上是Y等于X,那么如果A大于一的时候,曲线呈一种下图,也就是这个图像,在第一象限是这样一种图式,越靠近我们的对应Y轴,那么在A大于零小于一的时候,它的图像大概情况是这样一种趋势,也是单调递增。

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但是越靠近的是X轴,所以是一种上图的形式,那么如果A小于零的虚线,它整个情况在第一象限,应该呈现一种类似于反比例的一个D象限的图形形式。

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这就是关于A在大于零的情况下,它整体的一个情况。

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我们把A大于零,分成了A大于零小于一,或者A大于一这两种变化,对应的情况都是单调递增,但是变换的幅度不一样。

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一种可以说是增长的,增加的比较缓慢一点,而另外一种是增长比较快速一点,那么另外一种A小于零,我们知道它的单调,就是出现一种单调递减的特征,这是关于幂函数图像的一个基本情况。

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这个情况是在上节课的问题中,再进一步的归纳出的结果。

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好,我们在前面也知道,对于一些数字的大小进行比较时,要使用到的一些问题,就是单调性去解释它。

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第一个问题,我们现在所给的这三个式子当中,第一个和第二个,他俩的情况还是比较明显的,比如说,第一个是1152次方17的12次方,那么这两个,都是同样的一个指数12,第二个123方和125的三方都是同样的,指数三,所以,这两个应该同属于我们今天所学的幂函数单调性的一个说明来解释它。

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比如说,第一个问题,我们知道Y等于X的12次方在零到正无穷上是增函数,因为它指数A是12大于零小于一,那么15小于17,所以这个结果,很容易判断15的12次方小于17的12次方。

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第二个问题也是同样的思路,Y等于X3方在R上是一个增函数,增函数,所以单调增12大于125,那我们就直接可以得到,12的三方大于125,的3次方,这个不需要对它进行计算,而是用单调。

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好,第三个问题,我们把这个问题归纳来看,这两个之间应该属于叫同样的指数1,这两个之间二三两个之间属于同样的底526,所以它分别使用了,我们今天学的幂函数,以及上几节课所学的指数函数的一个单调问题。

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我们下面看,第一,我们先看这两个,Y等于X1次方,Y等于X1次方在零到正无穷上,显然是一个减函数,它的指数是1,那么525和526大小显而易见,525小于526,所以它俩的大小,应该是525的1次方大于526的1次方,这是第一个数和第二个字的大小,那么第二个和第三个,应该是Y等于526X次方它,应该是一个指数函数型,指数函数的一个模型,那么这个函数中,底数526显然是大于零大于一的,所以它是单调增函数。

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那么下面,我们根据自变量大小看1比2大,所以526的1次方大于526的2次方,那么这样的话,我们就得到了第一个数大于第二个数,第二个数又大于了第三个数,总体的大小就,可以归纳为这样的情形,那么这里面,我们通过第三个问题使我们明白了一个道理,在两个数之间,如果不能够直接进行大小比较的时候,比如说,我现在拿525的1次方和526的2次方去进行比较。

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那么这里面,我们就可以选择到这样一个中间量,这个中间量是我们所构造出来的,它的底是526,它的指数是1,而不是我们前面所讲的利用灵合一,所以这是一种比较特殊的利用中间量。

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好,第一个问题的总体情况,我们归纳为比较两个幂的大小,要仔细观察它们的异同点,指数相同,底数不同,那么应该是利用幂函数的单调性去比较,那么幂函数的单调性,与它指数A分成大于零和小于零的两块,来说明的单调递增后单调递减,如果底数相同而指数不同的时候,那么应该利用的是,指数函数的单调性比较这,就是我们在前面和今天所学的一个知识的联系。

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在比较大小当中,有同底不同值或同指不同底这两种情况,如果底指数都不同,通常要通过增加一个数,来起到一个桥梁的作用,那就是刚才我们所说的第三个问题,通过构造一个新数来比较大小。

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好,下面我们来看第一个,还是比较数的大小,这两个之间有没有同样的底和指数,我们先看一下没有,但是能不能先表示成,同底或者同指,我们简单观察一下,富8的78次方的相反值,还有19的7次方的相反值,那么这两个之间虽然底不同,指数上也不同,但是只可以调整,所以第一个问题,我们这样做一个调整就可以了,我们把原来的第一个数8的78次方的相反数,值改成18的78次方的相反数职这个地方,注意负号并没有在里面,所以是外面的副职,那么这样话,这个数和它之间就是一个同样的指数情况,那么应该归纳是,Y等于X的78次方这个函数了,这个函数我们知道就是幂函数,那么他在零到正无穷上是增函数,所以它的大小应该是,18的78次方大于19的78次方,这两个结果分别是刚才这两个数值的相反数职,所以根据不等式基本性质,我们就得到了这个结果。

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第二个都不相同,41的25次方,38的23次方以及19的35次方,如果都不相同,也不要急于去构造某一个特殊值,我们先看一看能不能区分开,如果能区分开,那怎么区分,比如说我们拿0R1去看一下,所以这个问题,我们还是选择用以前所说的零一,作为一个中间的桥梁,我们看41的25次方,大于1的25次方,这个情况符合的是同指数不同底的,应该用的是Y等于X的25次方幂函数的特征,所以它大于一,也就是一的25等于1,它大于一,那么38的23次方,是小于1的23次方,因为这个里面它的底指数是23,所以它单调递减,在零到正无穷单调递减,这样结果大于一,它的结果是小于一,显然大于零。

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好,最后一个数字,我们可以直接就反应得出来19的35次方,它显然是小于零的,其实19的35次方,我们如果把它写成根式结构的话,就是五次根号下19的三方,那么这是一个负值是很显然的,所以,从而得到了这三个数的大小情况,应该是它大于一,它最大其次是它在0到1之间,那么最后一个是结果小于零,所以总体就可以区分开。

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好,同学们这节课的主要问题,我们是对幂函数的图像,它所呈现的一种单调性,做了一个进一步的研究,并且对于单调性的一个比较数值的大小做了,一个情况的介绍,比如说同底不同纸或者同指不同底,那么,怎么样去利用中间的量,去构造一个数字去创造一个条件,使得它们的大小能比较出来。

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这节课的内容就到这,欢迎大家收看十分钟学校的其他视频,再见。<br />

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