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视频 介绍

幂函数(1)

本节课主要介绍了幂函数的定义及幂函数图象的基本特征

华 丁

教师 合肥市骨干教师、区学科带头人。

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大家好,欢迎来到十分钟学校,我是数学老师丁浩老师。

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今天我们来学习幂函数,幂函数,在前面的学习当中,我们同学们已经学了两种函数,指数函数和对数函数,那么什么是幂函数呢?所以我们今天首先要搞清什么叫幂函数,在书本当中给出了幂函数的定义,是一般的情况下,如果函数Y等于X的A次方,我们把它叫做幂函数,那么,这里面相应的X就肯定是自变量了,Y就是它的因变量,那么注意A只是一个常数,那么这个写法,有点和我们前面学过的一个指数函数有点混淆,同学们请注意观察一下,Y等于XN次方底数是X是自变量,而我们前面学的指数函数,是Y等于AX次方,底数是A,好,A是一个常数,那么这个A就可以任意的取值,比如说我们A可以取正值,AA可以取负值,那么对于这个定义我们也强调一下,幂函数与指数函数,对数函数的定义,也是类似的,要满足三个条件,第一,我们要满足解析式的右边的系数还是一,系数为一,那么这个问题和前面是相应的,底数是自变量,X也就是说底数,只能是单独的一个自变量X,好,指数必须为一个常数。

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好,这样的话三个条件满足,我们才说它是一个幂函数,那么同学们,我们看一下,我们以前所学过的,有没有我们今天所说的幂函数,比如说A取一,那么应该是满足这个定义的,那么此时Y等于X,就是我们今天所说的一个,幂函数,同时Y等于X,也是我们以前所知道的,实际上是一个一次函数,当中的特殊情况正比例函数。

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好,如果我们H与二,那我们又可以得到这个函数,Y等于X2次方,也就是X平方,它是我们今天所学的幂函数。

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那么Y等于X方,也是我们前面学过的,一种二次函数当中的一种特殊情况,还有比如说,我现在A取1时H1的时候,那么相应的Y等于X的1次方,也就是Y等于X分之一,那么Y等于X分之一,也是我们以前学过的,一种叫反比例函数,那么这个问题,就把前面学过的若干个函数,囊括到里面了,那我们知道,幂函数它的对应的规则,要注意底数是自变量X系数为一,并且指数为一常数。

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那么这个里面只数A的取值,可以相应的取一些任意值,那么这里面,我们可以先取一些特殊情况,比如说,我刚才说了A可以取1AA,可以取二取1,甚至于我们取零,如果Y等于X0次方,那么这个里面的X,只要不满足,是底数X不等于0就有意义了,那么这个时候,它是一条Y等于1的一条直线,还有我们可以取12等等。

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好,那么下面我们就来看一看,对于幂函数的图像,它有什么样的特征,这个里面的问题比较复杂一点,所以我们可以概括为以下情况。

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第一点,幂函数在零到正无穷上都有定义,那也就是说不管A怎么取,它都能保证,在第一象限是有相关图像的。

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好,这是关于第一条,在零到正无穷上都有意义。

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第二,一个幂函数的图像都过一一点,这一点也很显然,因为Y等于相应的X的A次方,所以当X取11的A次方A不管是多少,它仍然是等于1。

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所以一一是仍然可以过的,这是第二点。

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第三我们分成两类,A大于零的时候,幂函数图像过原点零,以及一一点,当A并且还可以得到它的一种单调变化,在零到正无穷上是单调递增,比如我们刚才说到一个,那就是Y等于XYY,等于X平方,这个函数就是A大于零时,它图像过0011,并且在零到正无穷上单调递增。

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好,再看如果A小于零时,那么相应的,幂函数图像是不能过零零点的,而且我们也可以得到,在零到正无穷上单调递减,我们也举个例子。

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比如说,我们刚才举的Y等于X的1次方,那么这个函数的相应情况我们已经熟悉了,我们应该知道它是符合不过零零点,只过一一点,在零到正无穷上单调递减的。

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好,再往下第五个方面,那么,也就是它的指数的一个大小和它相应的,一个图像的规则问题,在0到1这个范围内指数越大的时候,它的图像越靠近X轴,越靠近X轴在0到1,是这样的,那么在一到正无穷上在一到正无穷上时,指数越大,幂函数图像越远离X轴,这个我们可以把某些图像,画在同一个坐标标准,去观察得到相应的结果,这就是关于幂函数图像的有关的特征,总体来说我们主要搞清幂函数图像,它过定点以及它相应的单调变化,就可以了。

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比如说我们单调性的问题上,我们说,A大于零和A小于零的两种情况是不同的,那么在A大于零的时候,可能还会有一些问题,这是我们下节课所要探讨的问题。

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好,那么,下面我们来看一下第一个问题是,如果我们已知,Y等于括号X方加2MM方加2,M减2X的N方M方减一的这是个指数,这里面请注意,这前面是括号是它的系数,这是它的指数,后面还有一个常数2N减三,如果他是定义域为R的一个幂函数,我们要求一下MN,那么这个题目实际上很简单,我们只要知道什么情况下是一个幂函数。

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我们刚才已经解释了,第一条,它的系数应该是一,所以我们知道M方加二,M减二应该等于1的,那么是不是说系数等于1就可以了,这里面我们还要注意,它并不能只满足这样一个条件。

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那么,后面2N减三这个系数它也是奔常数项,是不能存在的。

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同时还有一点,就是我们M方减一,它的指数当中,M方减一是不能为零的,所以我们探讨的幂函数,一般指的是,底指数A不压为零的情况。

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所以,下面我们就可以综合,得到以下三条,第一条M方加二,M减二等于,M方减一不能等于0等于0,这个情况就特殊,我们把它排除2N减三等于0,那么这样,我们从第一个式子中可以得到M的结果,并且要符合第二条,M方减一不能等于0的话,最终M只能取3N等于32,这就是关于概念的一个理解性问题。

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我们只要知道,幂函数总体的要求是满足哪几点。

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第二,我们来证明一个幂函数,就是我们刚才提出的一个FX等于根号XX12次方,我们已经知道归纳了,它在零到正无穷上是增函数,那么这个问题,我们再回到原来证明函数单调性的方式上,去证明一下,如何证明函数的单调性。

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我们总体的入驻,应该是第一部我们假设变量在对应的零到正无穷上,并给出变量的大小,比如说xx2,它的大小我们规定好,然后我们去判断一下,FX1和FXFX2差值大于零,还是小于零,最终得出结果。

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这是关于单调性证明的一个一般性不足。

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所以,下面我们整个过程,就按照以前学过的单调性证明的方式来,我们说任取X1X二在零到正无穷,并且我们规定X1小于X2,那么这个时候,我们就可以来做叉FX1减FX2,显然,FX1减FX2是等于根号下X1减根号下X2,那么,根号下X1减根号下X2,再对它进行一个变式,这里面我们选择的是,一个分式的一个变形。

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我们看一下,实际上分式当中,上下都含有一个根号X1加根号X2,那么,这个两者一除,应该就等于刚才的根号X1减根号X2,那么,通过这样一个便是,使得它变成了一个分式的结构,分母分母,应该符合A减B乘以A加B的一个公式特征,所以概括为X1减X2,分子是X减X2,那么,分母是根号X1加根号X,那么这个结果比刚才这个结果更有说服力一点。

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那么这个时候我们来看,因为你规定了X1小于X2,所以显然,我们这个时候的分子是一个负值,那么根号X根号X2,都在零到正无穷范围内,显然是大于零的,从而判断出FX1减FX2是小于零的,也就是说FX1小于FX2,那么这样我们看自变量X1小于X2,函数值是FX1小于FX2,所以它满足单调递增的这样一个规则。

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这是关于FX等于根号X的一个单调性的解释。

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好,最后一个问题,如果我已知一个幂函数,FX等于X的A次方,它的图像经过点二二分之根号二,这个题目当中所要求的是F4,如果我要求他,我们首先要知道,圆幂函数解析式中这个指数A是多少。

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那么按照以前所说的方式,图像经过一个点,当然就说,这个点坐标满足原函数的解析关系,所以即使我们这个没有说它的函数式,我们也知道,幂函数一般的解析关系应该是Y等于X的A次方,固定的模式。

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好,下面我们来求解,我们因为它通过了经过了点儿二分之根号,所以代入以后,应该得到二的A次方等于2分之根号,那么这个式子的,当中二的A次方是个指数的形式,如果我们选择以前的方式,可以说,A等于是以二为底二分之根号二的对数的结果,当然,我们也可以把左边看成是22的12次方,二分之根号二根号二可以写成2的12次方,那么,再利用同底数幂的除法法则可知,左边实际上就是2的12次方,所以这样的话,我们就得到A等于12。

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好,当A等于12时,这时候我就得到F4的结果,就是X的12次方,也就是四的12,那么这个里面牵涉到是,前面所讲的分数指数幂,并且,是负分数指数幂应该是4的12次方再分之一,通过计算可以得到等于2的1次方,也就是最终得到12,这是关于第三个问题的解释。

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幂函数它经过一个点,那么我求他相应的数值,这也还是对于幂函数这个函数式的,一个关系的一个强调。

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好,这节课的主要问题,是学了幂函数这样一个新的函数,我们对幂函数的定义作了说明,并且知道幂函数图像的一个基本的特征。

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这节课的内容就到这,欢迎大家收看十分钟学校的其他视频,再见。<br />

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