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视频 介绍

对数函数及其性质(3)

本节课主要介绍了对数函数和指数函数互为反函数

华 丁

教师 合肥市骨干教师、区学科带头人。

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大家好,欢迎来到十分钟学校,我是数学老师丁华老师,今天,我和同学们继续学习对数函数的图像及性质问题。

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对数函数及其它的性质,好,我们今天的第一个问题,是在Y等于2X这个指数函数当中,我们知道X是自变量,Y是因变量,那么若Y是自变量,X是因变量的话,那么X是不是Y的函数呢?在这个问题中,我们提出了一个新的概念,在原函数当中,我们把自变量X作为了自变量,Y是它的因变量,那么,能不能把相应的情况做一个调整,使得Y和X的关系发生一个变化,那么也就是说我们把Y看作自变量,X看作因变量可不可以,它能不能成为函数呢。

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函数的概念在前面,我们学习的时候,我们知道,它是指在某种对应的情况下,如果变量X在一定范围内,相应的值在Y中都有唯一的值语句确定,那么这种关系我们就称为一种函数的关系。

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好,那么下面第一个问题的解释是这样的,当Y等于2X这个函数关系式成立,我们知道实际上,我们可以把这种指数是改写成倍数的形式,他们俩是一种等价的关系,所以此时,X就等于了log2为底Y的对数。

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好,这时对于Y而言,它肯定是在零到正无穷范围内相应取值,否则没有意义。

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那么通过这个式子,我们知道,当我们对应Y在零到正无穷时,任意取1G,那么此时,X只能在R中有唯一确定的值和它是对应的,那么这个里面我们就可以确定,此时如果Y是自变量,X是因变量的话,那么X可以是Y的函数,那么,这种情况在我们这个问题中,我们再次归纳为,我们把Y等于log2为底X等于log2为底Y的这样一个函数,称之为原来Y等于2X函数的一个概念,叫反函数。

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当然我们习惯上写函数式的时候,通常都是把自变量看成X因变量看成Y的,所以这种写法不太符合习惯,因此我们改写一下,还是写成Y等于log2为底X对数,那么这样的话,我们发现此时,Y等于2X的一个指数函数,和相应的Y等于log2为底X的对数,这样一个函数,它们之间就应该是一个反函数关系,反之也是成立的。

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那么通过这个例子,我们进一步可以推到一般情况下,所以对数函数Y,等于log2A为底X对数,以及相应的指数函数Y等于AX,那么这个里面,它对应的A应该是同样一个底数,A这个时候它俩之间我们说互为反函数,那么这就是我们今天所要讲解的一个概念,反函数。

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好,那么反函数有什么样的图像的特征呢,因此我们先来看一下两组,比如说Y等于2X,和Y等于log2为底X的对数的图像,这两组以及Y等于12,X对函数和Y等于log2分之一为底X的,对数这样两个函数图像,这里面我们选择了两种情况下,一种是底数大于一的,我们选了二,还有一种,我们选了底数大于零小于一。

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好,那么这样,我们可以通过以前学的图像的情况,知道两个图像的大概的图形,最终,我们得到它相应的关系是如果Y等于2X,与Y等于log2为底X的图像,以及Y等于12X和Y等于2分log2分之一为底X的图像,它们之间这两个之间,以及这两个之间都是我们,刚才所说的互为反函数,那么此时图像是关于Y等于X对称的。

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好,这个直线Y等于X对称,是指相应的这两个函数,互为反函数时它的图像的一种对称性,同样,我们在发现这两个是同样的底二,这两个是同样的底为12,那么底数相同的情况下,单调性也是相同的。

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这两个函数的单调,和这两个函数单调也是相同的,但是在相应的范围是发生变化的。

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好,所以我们就得到了,如果Y等于X与Y,等于log2A为底X,这两个函数它会反函数的时候,那么它的图像是关于Y等于X对称的。

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号,单调性也是在底数相同的情况下相等相同的,比如说底数大于一,我们说它的单调性,都是在对应的地域范围内单调递增,那么如果底数大于零小于一,在对应的范围内单调性都是单调递减的。

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这是关于它的单调性,以及它的图像的一种对称状态。

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那么还有什么发现,我们再来看,指数函数Y等于X它的定义域,显然是R级,它的值域是零到正无穷,那么,刚才我们把这个相应的对数函数分称为,刚才的Y等于X这个函数的反函数。

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所以,它们俩之间一个定义域和值域之间的关系,会发生变化,我们看这个时候它的定义域是零到正无穷,值域是R,我们看十是相当于原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域,实际上,这个问题我们直接可以通过刚才强调反函数概念从而得到,这样我们就得到,如果两个函数会反函数,它的定义域和值域是互换的。

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好,那么这,样我们就掌握了什么叫反函数以及反函数所要满足的有关规则,我们主要是说明了它的定义域,值域,以及它的对称情况,是关于Y等于X对称,以及单调性上有什么规则。

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好,下面我们就可以来看一下有关的问题。

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第一个问题是函数Y等于log,2A为底X减一,A大于零且A不等于,那么它的反函数图像,我们说经过了点一四,我们要求A的值,它这个函数本身不能称之为叫对数函数,所以,它的反函数不能是它相应的一个指数函数。

00:07:28

我如果要求它的反函数的话,这个问题显然是有点超出我们所讲的范围,那么我怎么解决这个问题呢,我们刚才说了,如果两个函数之间,是互为反函数关系的时候,显然它的图像关于Y等于X对称,那么关于YXY等于X对称图像的话,它相应的点的情况有这样的规则,比如说,图像中它如果含有AB这个点的话,那么,在它对应的反函数图像中,就有相应的BA,这样一个点。

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因为,这是关于Y的X退对称情况下点坐标的,一个规则问题,这样的话这题的解决就很简单,我们想,如果我知道了它的反函数过一四点,我们知道原函数,就过四一点四一点原函数,如果过四一点的话,我们直接把它相应的四一点,代入到原式当中,从而得到log2A为底三的对数等于1,所以A就等于3了。

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那么,这个问题它所使用到的结论,就是刚才我提到的Y等于FX的图像经过AB点的时候,它反函数的图像经过BA点,所以这种情况,我们就需要用这样一个规则来推导。

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好,第二个问题,已知FX是R上的积函数,当X大于零的时候,我们给出了FX的函数式是12X加一,R12X函数是我们所熟悉的一种情况,是一个指数函数加一,只是在原图像相应上移了一个单位。

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那么现在问题是,我要求FX反函数的图像大致是什么情况。

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好,这个题目的整体思路,同学们也可以整理出来,其实我们并不需要知道反函数是谁,我们先要搞清原函数它的图像,那么,原函数和相应反函数图像的规则上,不是关于Y等于X对称,所以下面我们就来看这个函数。

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那么,原题中给了是X大于零函数,是因为它在R上是积函数,那么有一个特殊点,X取零时它对应的值是F0等于0了,所以这个问题,我们就不需要再去解决了。

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那么,下面我们要求的就是当X小于零时,它的图像的相应解析是什么呢。

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所以下面我们看第一个部分,我们假设X小于零,那么负X是大于零的,此时我们把它对应的函数式表示出来,F负X是满足刚才的对应法则,所以它等于12负X加一,也就是2X次方加一。

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好,那么在因为FX是个积函数,所以F负X等于负FX,好,这样的话,我们就把这个结论带入到上面,所以得到FX等于2X次方减一,从而得到最终的函数是,我们给的是两段,另外一段就另外一个点就没有说了,X等于0的时候,所以FX在X大于零的时候,是二分之X方加一,在X小于零的时候,是2X次方减一。

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那么这个里面这两个图像,情况我们是可以得出来的,比如说第一个函数在X大于零的时候,它是一个指数函数,相应向上移一个单位。

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那么同样,我们再看下面这个函数,这个函数当中,我们首先可以看到它有一个22X函数2X次方,我们知道它是一个底数大于一的指数函数,那么负号的意思是指什么,指相应的相应的图像。

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在原来的X轴的上方部分,应该得到下方部分,也就是说,它应该是关于Y轴对称的X,应该是关于X轴对称的这样一个图示,这样我们先把它的图像做出来这个情况,这个函数图像是对应的,X大于零时,那么这个图像是对应到X小于零时。

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好,这样我们就知道了,相应原函数的两段范围的图像,那么,再根据我们刚才所说的,两者之间互为反函数时,它图像的特征应该是关于Y等于X对称,那么这样的话这一段对称情况,我们相应的可以得出这一段的对称情况,我们也可以相应的得出这是原函数图像,所以这个答案的结果,就应该是A,我们再看一下,那么原函数图像应该是这个图示,也就是和我们刚才选项中的第一个图形,这个图形有点也就是B是我们原函数图,那么它的反函数情况,应该是这个图像,它们之间是关于Y等于X对称的一种状况。

00:12:33

好,同学们,这节课,我们主要是对问题当中所出现的一个新概念作了说明,就是反函数这样一个概念,并且对反函数有关的特征,进行了有关的说明,以及我怎么样利用这样特征,去解决一些问题。

00:12:49

好,希望大家能够理解,这节课的内容就到这,谢谢大家收看,欢迎收看十分钟学校的其他视频,再见。<br />

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