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视频 介绍

对数函数及其性质(2)

本节课主要介绍了利用对数函数的单调性比较大小

华 丁

教师 合肥市骨干教师、区学科带头人。

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大家好,我是数学老师丁华老师,欢迎大家来到十分钟学校,今天我和同学们一起学习,对数函数的图像及性质问题。

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对数函数及其性质问题,在上节课当中,我们已经对对数函数的图像,做了一个简单的归纳,我们知道,对于对数函数的图像,总体来说分成两类,底数如果大于零小于一,那么在它对应的定义域范围内,图像是呈现单调减,如果底数大于一的话,那么,相应的情况应该是在定域范围内,呈现单调递增,那么现在今天我们讲的第一个问题是,如何利用对数函数的单调性,来比较对数的大小问题。

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这个问题刚才我们已经说明了,如果要比较两个同底数的对数大小,那么,首先要根据对数的底数,来判断对数的增减性,那么总体来说,分成底数大于零,小于一,或底数大于一,然后我们比较增速的大小,利用对数函数的增减性,来判断两个对数值的大小。

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这里面请同学们注意一下,如果底数是以字母的形式出现的,显然我们要对底数A来进行判讨论。

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好,那么下面我们看第一个问题,比较下列各组数值当中两个值的大小。

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好,我们看第一个,以二为底34的对数和log,二为底85的对数,第二个是log03为底18的对数,和log03为底27的对数,那么这两个情况,显然底数已经确定,所以,我们只要根据刚才的归纳,相应的单调性先判断出来,然后再进行增速的大小比较,从而得到两个对数结果的大小。

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所以我们看第一个问题,考察的是对数函数,Y等于log2为底X的对数,因为它的底数二大于一,所以它在零到正无穷上是增函数。

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下面我们就可以,直接得到对应的log2为底,34的对数是小于log,二为底85的对数。

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好,同样,第二个问题,是考察了Y等于log03为底,X的对数,它的底数03,显然是大于零小于一,所以我们知道,在零到正无穷上,它是减函数,因此log03为底,18的对数,应该大于log03为底27的对数,这是关于头两个问题的说明,那么,第三个问题中,捞个A为底51的对数和log A为底59的对数,它俩的大小如何得出。

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显然在本题当中,底数A只是规定大于零,且不等于1,那么相应的情况,我们要分成两类来说明。

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好,第一种情况当A大于一的时候,所以这个时候,Y等于log2A为底X的对数,在零到正无穷上是一个增函数,所以它满足单调递增的特征,从而得到,log2A为底,51的对数应该小于log2A为底59的对数,那么第二种情况,相应就是当底数A大于零,小于一时,我们同样可以得到它的单调性,是减函数在零到正无穷上。

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所以log2A为底,51的对数大于login问题,第59的对数,这是关于第一个问题的判断。

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那么对于第一个问题,我们同学们主要掌握住底数,在相应什么范围真数的大小以及对数式的相应结果。

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好,但是并不是所有的问题都是这样同底的,那么如果相应的底数不同,那么我们又怎么进行比较。

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所以下面我们给出了是两个都不是同底的对数,一个是log7为底八的对数,和log03为底四的对数。

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它俩的大小,以及log3为底四的对数,和log6为底五的对数大小,再比较大小的问题当中,前面我们同学们,也学过指数式的一个大小的比较,应该可以采取的是,中间量的一个搭桥作用,所以这两个问题,我们都是通过找出相应的一个中间量来做一个判断。

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比如说第一个问题,我们看七为底八的对数,应该是大于log7为底一的对数,它的单调性应该是单调递增,那么log7为底一的对数是等于0的。

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好,同样的道理,我们再来看log03为底四的对数,和log03为底一的对数,这里面它所涉及到,是底为03的对数,单调递减的零到正无穷上,所以它的对数log03,为底四的对数小于log03为底一的对数,这样我们看出一个是大于零的,一个是小于零的,所以两者之间的大小从而得出。

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好,这是关于第一个问题,那么第二个,我们选择的是一这样一个中间量,我们看log3为底四的对数,那么应该是大于log3为底三的对数。

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好,也就说一同样道理,log6为底五的对数,应该是小于log六为底六的对数,是小于一的,所以一个大于一,一个小于一,从而得到相应的结果是,log3为底四的对数,大于log6为底五的对数,这是关于第二个例题的说明。

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那么从第二个问题的说明中,大家可以看到,有一些问题可以选择用中间量在进行一个搭桥的作用,比如说,我们选择零或者选择一作为一个中间量。

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好,那么也有一些关于相应的式子,得出一个不等关系,来求一下相关范围的问题。

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好,我们看第一个问题是,log2A为底12的对数大于一,那么这里面我们要求底A的取值范围,那么底A的总体取值范围,肯定是要满足大于零,且不等于1了。

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那么具体的范围怎么去说明,那么,下面我们先可以把这个相应的关系改成捞个A为底,12大于log2A为底A的对数,那么这样我们就反过来,我们等于知道了两个对数式的大小。

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来看一看它相应真数的大小,这里面同样出现一个A底的问题,DN有没有说明,在没有说明情况下我们就分成两类,所以第一种我们说A大于一,当A大于一的时候,那么应该是12在大于A的,那么显然这里面互相矛盾,所以第一个问题是不存在结果的,所以此时是无解的。

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那么,第二种当A大于零小于一时,那么我们根据这个单调性,可以知道此时12和A的大小,是12小于A,那么综合总体条件以及12小于A的结论,所以最终得到A在12到一之间。

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所以,第一个问题的结果,就是A的范围在二分之一到一。

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好,那么第二个问题,我们直接给出了底是07,两个真数2X和X减一相应的X的取值范围,那么这个里面,我们就不需要进行分类的讨论,但是我们要注意,如果Y等于log07为底X的对数,显然它是一个单减函数,那么按照单调递减的特征,我们说此时2AX应该大于X减一。

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那么请问有一个问题,请同学们注意的是,这两个充当了是真数的作用,所以此时要满足2X大于零,同时X减一也要二零,那么在这种情况下,才能保证原来的不等式是有意义的,所以综合以上三个不等关系,最终,我们得到了X的范围是一到正无穷。

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那么关于这节课,对数函数的一个性质问题,我们主要是强调了,对数函数当中一种单调性的问题,并且利用这个单调性,来对相关对数式的大小进行比较,以及相应对数式大小已知的情况下,我们得到相应参数的范围。

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比如说A的范围,或者是X的范围这样一些问题。

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