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视频 介绍

对数函数及其性质(1)

本节课主要介绍了对数函数的定义,对数函数的图形由底数分为两种

华 丁

教师 合肥市骨干教师、区学科带头人。

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大家好,欢迎来到十分钟学校,我是数学老师丁浩老师.

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今天我们要学的内容是对数函数,对数函数及其性质.

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我们在前面已经学习过的是指数函数,所以我们今天要学习的另外一个函数就是对数函数,那么我们首先第一个问题就是什么样的函数是对数函数,在书本当中我们给出了对数函数的定义是这样说的,一般的我们把函数Y等于log2A为底X的对数,这种叫做对数函数.

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其中底数A仍然是大于零,且不等于1,那么在这个表达式中,X是它的自变量,Y是它的因变量.

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好,因为对数的表达式中帧数是要大于零的,所以也就可以得到这个函数的定义域就是零到正无穷,那么这个问题中我们强调所有函数的形式必须是Y等于log2A为底X的对数才能叫做对数函数,这是它的一个模板.

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我们把他的问题做一个归纳,对数函数的定义与指数函数的定义是类似的只要满足函数的解析式,右边的系数为一,也就是它的系数是一,底数为大于零且不等于1的一个常数,这个底数A是一个大于零且不等于1的常数,真数仅有自变量X,这三个条件.

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那么我们对这个条件的苛刻的要求是三个方面,系数是一,底数是大于零,且不等于这个常数,然后自变量常数真数是仅有一个变量X自变量X的.

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那么比如说这种情况我们看一看,A为底X方,这个不符合,为什么,因为这个地方它并不是自变量单独的X那么再看log2A为底括号四减X那么这也不能叫对数函数以及Y等于2倍的log2A为底X对数,这也不能叫做对数函数.

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因为它的系数不是一,所以对于对数函数的要求就是严格按照定义的说明,凡是符合这种形式的才能叫做对数函数.

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好,那么对数函数的图像是什么样的情况呢,我们解决函数图像的方法还是用常规的列表描点连线,那么这里面我们分别去画一画底数,A分别取大于零不等于1的有关数值,那么最终我们可以得到关于对数函数的图像分成两种,那么这两种情况就是以A作为分界的,如果A大于一的图像是这种曲线,如果A大于零小于一的时候,它是这种曲线.

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那么这两个曲线的对应情况,我们可以简单的先观察一下图像,我们发现这两个函数对应的图像的右相关情况,大家发现没有.

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一,我们看整个函数都是在X轴的正半部分的一个曲线,正半部分的曲线和X轴不能相交,和Y轴不能相交和Y轴不能相交,第二个对应的都过了这样一个点一零那么为什么过,E0我们实际上很容易得到,其实这个点就是说烙个A为底一的对数,那么一的对数是A为底一的对数是等于0的,所以不管你A是多少,A是大于一的也好,还是大于零小于一的.

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好,那么他都过这样一个一零点的.

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好,再者我们还可以看出整个图像的变化上是不同的,那么这个图像是呈一个上升的趋势,这个图像是呈一个下降的趋势,那也就是说这两个函数的单调变化是不一样的左边A大于一时,我们可以归纳为它的函数是单调增函数,那么右边它是个单调减函数.

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好,还有我们再看,我们以这样一条虚线来看,在左边的情况是在0到1这一侧上,它的函数值是小于零的,那么大于以后它的函数值是大于零的,同样这个情况刚好是反过来的,在0到1这一侧的时候,整个图像在上方,也就是表明Y是大于零的,当它大于以后,对应的图像在下方,说明Y是小于零的,再者我们把这两个图像综合看一下,如果我底数A取大于一的事儿,如果A取大于零小于一的是12对应的一个,对数的一个一对二和12的话,那么这两个图像放到一个坐标系中,我们就发现它是关于一种情况的对称什么.

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对称,它就是关于X轴对称,这是两个图像放在一块来看.

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好,那么下面我们可以归纳一下关于对数函数图像的一些简单性质,所以我们归纳为以下几点,同学们来看一下,共同点是,定义域都是零到正无穷,这是因为对数的表达中真数必须大于零,那么值域都是实数集RR实数集RG有Y小于零的也有,Y大于零的,我们在脑子里应该有这样一个图,一种是往上升的曲线,一种是往下降的曲线,那么都过定点,一零都过.

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DN等于0,我们把它的共同点归纳为三条,不同点我们归纳一条,底数的情况分成两种时,当A大于一的时候,函数是增函数,当A大于零小于一的时候,这个函数是减函数.

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相同点或者说联系点,也就是它们之间的一个联系点是什么,我们说第A和DA分之一这两个图像对应情况,它是关于X轴对称的,我们刚才说比如说取个二为底X对数和12为底X对数这两个函数图像,它是关于X轴对称.

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好,这是关于函数图像的一个情况,下面我们来看第一个问题是,求下列函数的定义域.

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这里面请同学们注意一下,我们所给的这四个函数都不属于我们刚才所说的倍数函数,那么我怎么样求下列函数定义域,其实这个问题归根结底就是我们要保证这个里面真数的要求,我们看第一个问题,log2A为底X平方和log二为底四减X,这两个里面的帧数形式是谁,那我们只要把这个真数形式找到,第一个X方我们知道他在不等于0的情况下,它永远是大于零的.

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所以我们在这个式子中只要X不取零,那么它对应的结果就是可以符合的,所以我们说这个函数的定义域是X不等于0,也就是从负无穷到零以及零到正无穷.

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好,同样,四点X大于零,所以X小于四,因此这个函数的定义域它是X小于四.

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好,以上这前面两个它的形式情况,我们都是通过真数的方法来理解的,所以下面这两个我们同样是要通过这个形式去理解,因此第三个我们首先看,我们还是要求九减X方大于零的,那么我们知道这个不等式最终得到结果是X,在3到3之间,从而得到这个函数的定义域是3到3的一个开区间,最后第四个我们也是从帧数的角度考虑164,X次方大于零,我们要保证这个括号里面大于零,那么等价于4X次方小于16.

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那么这里面我们用到了是以前所学的指数函数的一个单调性,4X次方小于16就相当于4X方小于4的平方,所以X小于二,所以这样我们就得到它的定义是X小于二.

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好,这就是关于第一个问题的说明,第一个问题的说明上来看,虽然形式并不是对数函数,但是我们要求以上四个函数的定义域都是从真素这个角度出发就可以了.

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当然也有的时候我们会把形式作为的更为复杂,比如说下面这个问题,我们看一下,这个形式在分母的位置上,同样log7为底根号13X,分利真数上是一个分母的分式的形式,还有第三个是带有根号的结构,所以以下三个函数的定义,我们在考虑问题的时候不能仅仅从一个方面去考虑了.

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那么下面我们依次来看,比如说第一个我们想一下,如果作为分式而言,是不是首先要保证分母不为零,我们得到的是捞个二为底X的对数不能等于0,我们刚才知道从图像中知道,当它等于0的结果等于0的时候,实际上这个点是一,所以就说X是不能等于1的,那么也就说X不等于1是它的一个要求,同时我们又看到你这个表达应该是一个真对数的形式.

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那么对数当中我们要求真数大于零,所以X还要大于零,这样综合一下就得到它的定义域是X大于零且X不等于1,这样就说明这个问题我是从两个方面去思考的.

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那么同学们,第二个问题的思考是不是也可以用这样的方法同样我们再看,第一种,第一步,我们把整个结果看成是个整数,那么13X分之一肯定是要大于零,对吧,同时13X分之一它是个分式的结构,所以它又要保证分母不能为零,所以两个条件综合以后,我们得到了最终是X小于13这种综合,就是指这两个的公共部分交集,最后得到定义域是X小于13,这是第二个.

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那么第三个,我们看形式上既有一个根号结构,那么从根号结构来看,首先被开方数大于等于0,就是整个结果还要大于等于0,其次X是一个真数,在三为底X对数当中它是个真数,所以他也还要保住大于零.

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好,那么这样的话我们只要解一下不等式组log3为底X度大于等于0,那应该就是我们刚才图像中当它大于零的时候在上方,所以X要大于等于1,应该是在X轴的正半轴,往一一边就大于等于1.

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根据图像可以得到,所以最终这两个的公共部分就是X大于等于1,所以所求定义域就是X大于等于1,这就是例二这个问题的说明.

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这节课主要问题,我们首先是了解了对数函数这样一个新的函数,同时对对数函数的要求做了一个说明,什么样的情况才能是对数函数.

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并且对对数函数的图像做了一个简单的情况的分析,了解了他的有关的特征,在问题的处理上主要是求一些类似于对数函数的定义域,那么这些求法中要满足哪些条件,要通过形式去观察,仔细观察.

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