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视频 介绍

对数与对数运算(4)

本节课主要介绍了利用对数换底公式求解对数式

华 丁

教师 合肥市骨干教师、区学科带头人。

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大家好,欢迎来到十分钟学校,我是数学老师丁浩老师.

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今天我和同学们一起学习对数的运算问题,对数与对数运算四,在上节课我们已经知道了对数的运算的一些有关的运算性质,在运算中需要用到这些性质,那么下面我们首先来看今天取讲的第一个问题是,你能不能根据对数的定义推导一下下面的这样一个公式,我们首先看这个公式,左边是以log2A为底B的对数,它等于了log C为底B的对数除以log C为底A的对数.

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当然条件还是一样,底数大于零且不等于真数大于零,这个情况能不能推导,我们先来推一下,我们看,假设log2A为底B的对数,就假设右边的结果,我们假设他等于X也就说我们不知道它等于多少,我们可以假设他等于X那么这个时候logC为底B的对数就等于X乘以log C为底A的对数.

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也就是这个式子转换成它了,那么我们根据上节课所学习的运算性质X,可以提到这里面来,log C为底B的对数就等于log C为底AX次方X光里面一遍就是说与运算性质来的.

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好,那么下面看一看这个情况,它俩相等,那不就等价于B等于A的X次方X次方吗.

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好,那么这个时候我们再把指数是转成对数式以后X不就相当于是log2A为底B的对数了吗,所以我们刚才假设它对X的话,这样结果就等于了这个结果,这就是我们对于这个公式的一个说明证明.

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好,我们把这个公式介绍一下,这个公式叫做换底公式.

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为什么叫换底公式,我们看左边是以A为底B的对数,那么右边我们看到分子分母都换成了一个C为底的对数,所以叫做换底公式.

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好,换底公式用圆可以表示为一个对数,可以用同底数的两个对数的商来表示,左边是一个对数,右边是两个对数相除,同时他表示成换了一个底的对数去除的.

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好,同时我们再看一下,原来A为底B的对数B还在我这个里面在分子上是作为了上面对数的真数,原来A是我们分母上log C为底A的一个真数,所以我们为了记这个公式的时候,同学们也可以不妨这样去想一下,用这样一个技巧去理解一下,B在这个位置上,A在这个位置上同时换成了以C为底的一个对数的除法.

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这是关于换底公式,那么我们用换底公式还可以得到一些结论,比如说我可以得到这样一个结论,烙个A为底A的M次方AM次方为底的BN的对数,它等于M分之N倍的log2A为底B的对数,这个结论是可以用换底公式去简单进行证明的.

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好,我们把等于把MN这两个指数全部提到了前面等于M分之N,那么这个情况是log2A为底B的对数和log B为底A的对数之间是一种互为倒数的关系,也就是说A为底B的对数和B为底A的对数相乘是等于1的.

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好,这就是换底公式所得到的两个结论,在有些运算当中我们可以直接适用刚才所提出的结论,在这里面我们就不对这个结论进行证明了.

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好,下面我们看第一个问题,如果A大于零且A不等于1,XY都大于零,N属于N加,那么下面各式当中成立的个数为.

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好,我们看第一个是log2A为底X倍数乘以log二A为底Y的对数等于他,第二个是log2A为底X对数减log二为底Y的对数等于它.

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好,以及log2A为底XY的对数等于logA为底X对AX的对数乘以log2A为底Y的对数,还有对数除等于log2为底XY.那么以上这四种情况是我们经常所犯的一种错误,在这里面我们要强调一下没有这四个运算的顺序公式,我们看在前面学习当中,我们知道对数加对数log2A为底M对数加上log二为底N的对数等于log A为底MN,那就是说级的对数等于2个对数相加,那么在这里面是没有的,不能把这些理解成了,还有两个对数相减等于log2A为底M除以N,也就是说商的对数等于对数去剪好五六两个情况,这个地方我们所用的情况和我们前面讲的一个公式是也有区别,我们看它是log2A为底X打一个括号,N次方是指整个的N次方,那么N次方它不能放到里面去,因为我们知道log2A为底X的N次方是等于N倍的log二为底X对数,所以这个也是不对的.

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好,最后一个,log2A为底X的对数等于负的log2为底X分之一的对数,那么这个情况我们看一下,X分之一是不是可以看成X的1次方呢,那么这个时候我们可以把他的1提到前面来,这样就直接变成了拉个A为D根据运算的性质,那就变成了负负得正.

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log2A为底X对数,所以以上这几个只有第六个是对的,我们列出来的目的是请同学们加以区分,有些东西是没有的,所以不对这是答案为A这是第一个问题.

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好,下面我们来看log2为底三的对数等于A三为底七的对数等于B,我下面要用求用AB来表示log42为底56的对数.

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大家首先看一看,这三个对数底都不相同,所以也就是说在这个题目中我们要用到了是刚才提到的换底公式.

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好,首先我们看二为底三的对数,这是三为底七的对数,我们是不是可以把它先改成三为底二的对数.

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所以第一步我们看我们把log2为底三的对数等于A的话,那么它的导数AA分之一就是刚才所说的常见结论中的第一个三为底二的对数.

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好,这样这两个情况,一个是三为底七的对数等于B1个是三为底二的对数等于多少,等于A分之一.

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好,为了表示log42为底56的对数,现在我们对它做了一个换底的处理,为什么要换成以三为底,因为我们刚才题目中给出的都是以三为底的,所以变成了log3为底56的对数除以log3为底42的对数.

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好,那么我们再想三为底56的对数56实际上是7×8,那么这样我们就把它变成log3为底七的对数加log3为底八的对数,我们两步变成一步三为底八的对数,那么82的三方把它提出来就是三倍的log三为底二的对数,因为这个结果我们是有的,所以变成了它.

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好,同样42,我们改成6×7,因为我要有七有三,所以下面log3为底七的对数出来了,那么这个里面还有一个是log三为底六的对数怎么处理?

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那么六我们再改是2×3,所以U等于log3为底二的对数加上log3为底三的对数,那么显然log3为底三的对数是等于1,所以这样的话最终我们就得到了所需要的三为底七的对数,还有三为底A的对数.

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下一步的过程就很容易了,我们把结果代入,这是B这个是多少,这个是A分之三,所以最后化简的结果就是这样一个形式,这就是我们第一个问题的处理.

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那我们在解决这个问题的时候,就是要用到换底公式,同时结合运算的性质来进行,下面我们提醒一下,在利用换底公式进行化简求值的时候,一般情况是根据题中所给对数式的具体的特点来选择恰当的底数,你比如说这一题我们就要选三为底,当然换底公式告诉你是可以换成任何一个大于零且不等于的底数的,如果所给的对数是真底数和真数互不相同,我们也可以选择以十为底的对数进行换底因为十为底是常用对数.

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好,那么下面我们来看,我要计算这样两个式子的结果,其中第一个式子中有二为底三的对数乘以三为底五的对数为底16的对数,那么我们解决第一个问题的方法就是全部换成以十为底的对数,所以改成log3除以log2乘以log母猪以log3log16除以logO,这全部用换底公式调整了,那么其中log16和log2留下来了以下的情况全部消掉了,log16等于什么?

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log16,我们知道是2的4次方,log2的四方把四提到前面就是四倍的log2,所以第一个问题就很容易得到,这就是关于对数换底公式的一个简单的处理.

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好,那么第二个问题我们看我也这样首先把它全部换成以十为底,log2除以log3,第二个是log2除以log9,同样小括号里面是log3除以log4,加上log3除以log,那么对应的情况再做调整,log2除以log3加上那么这个地方log9,我们改成二倍的log3,这样我们看这两个式子总体上都是log2除以log3.

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那么我就相当于是在进行合并一倍的加12倍的,所以这样我就得到第一个式子的结果那一辈的他加12倍的塔,所以这个结果最终得到是32倍的它32贝塔同样三除以四加3÷6个八,我们把四改成二被拉高,八改成三倍.

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那么这个时候我们看一下,它是相当于12倍的加1个三分之一倍的,我们合并以后是56倍的它56倍,那么再看这个时候调整以后他俩相消,所以就等于最后是32去乘上一个五六分之五等于54,这样这个问题就得以解决了.

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这节课的主要问题,我们主要介绍了对数的一个换底公式,在对数的有关运算当中,有的时候是需要用到换底公式的,同时通过换底公式我们也可以得出一些常见的结论,那么这些结论都是由换底公式推出来,但是整个的运算还是要用到我们上节课所说的运算的有关性质三条性质来进行运算的.

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这节课的内容就到这,谢谢大家的收看,再见.<br />

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