{{'Please rotate your device to landscape mode' | trans: locale}}

视频 介绍

对数与对数运算(3)

本节课主要介绍了利用对数运算的三条性质求解对数式的结果

华 丁

教师 合肥市骨干教师、区学科带头人。

{{trans['order Lesson']}}
00:00:00

大家好,欢迎来到十分钟学校,我是数学老师丁华老师,今天我和同学们一起学习对数与对数运算三对数与对数运算三.

00:00:19

在之前的两节课当中,我们已经对于对数这个概念有所了解,并且对于指数式和对数式之间的一个互化的关系做了充分的说明,那么这节课我们主要的问题是来了解一下对数运算,指数的运算法则有哪些,这是首先我们需要复习一下的问题,我们看指数的运算有AM次方乘以N次方等于A的M加N次方,AM次方除以AN次方等于A的M减N次方,以及AM的N次方等于A的MN次方,这是指数的三个运算法则,那么当然还有AB的N次方分别等于AB的N次方,分别等于A的N次方乘以B的N次方,那么现在我需要这样的三个运算法则.

00:01:09

第二个问题,如果我假设M小M等于以A为底大M的对数log2A为底M的对数等于小M同样小N等于log2A为底N的对数,那么我们能不能用MN这两个字母表示一下拉个AA为底MN相乘的对数.

00:01:32

好,我们首先根据我们刚才的假设的问题来看,如果我们假设了lag为底大M的对数等于小M的话,那么这样一个对数式是可以转成指数式的AI M等于大MAM次方等于大M.同样的道理,对于第二个对数式的表示,我们也可以转换成相应的指数是IN次方等于大N.好,那么我们将AM次方和N次方相乘,利用上面的公式一可以得到它等于A的M加N次方.

00:02:11

当然因为我们刚才说了,这个结果是等于大门,这个结果是等于大N,所以他俩的相乘实际上就是MN相乘.

00:02:20

那么下面我们注意看一下,对于A的M加N次方等于MN相乘的形式也可以看成一个指数的形式,这里面A是底数,M加N是他的指数MN相乘是他me的结果.

00:02:38

那么我们根据上两节课所学的知识,我们很快可以把它调整为将指数是转化为对数式以后,那么是AA为底MN相乘的对数等于小M家小N.好,那么咱们看刚才说了是用小M小N来表示它,所以我们表示出了log2A为底MN的对数等于M和N相加.

00:03:05

那么在回来如果MN是刚才的这两个结果的话,这里面我们就推出了log2A为底MN相乘的对数等于M的对数,以A为底M的对数加上N为A为底N的对数,那么这里面就等于推出了一个对数的一个运算的法则.

00:03:28

好,我们还可以利用相应的IM除以N的关系,同样也可以推出某些运算的关系,还有刚才提到AM的N次方等于A的MN次方,这样一个指数的运算法则,也可以来推它相应的一个对数运算的关系.

00:03:49

好,那么利用这样一个推导的方法,那我们就可以得到我们这节课所要学的对数的运算的性质,对于对数的运算性质,它的总体条件.

00:04:01

那么还是要满足底数的要求,是A大于零且不等于,对于MN作为真数分别大于零,那么第一个式子我们刚才已经推出了,就是log2A为底MN相乘等于log2A,为底M的对数加上log A为底N的对数,那么第二个我们就没有推导.

00:04:22

同学们可以根据我们刚才提出的推导的方法,推导一下,我们同样可以推出,log2A为底MN相除等于log2A为底M的对数减去log2A为底N的对数.

00:04:37

好,那么同学们看,这两个运算的性质,从它的形式上我们首先做一个了解,左边是乘积的对数,右边是两个对数相加.

00:04:53

第二个是左边是一个商的对数,右边是两个对数相减.

00:05:00

那么我们就可以把这样两个公式用刚才的形式的特点概括为对于极的对数可以认为是对数之和,那么对于商的对数就可以看作两个对数之差.

00:05:19

好,那么还有一个是log2A为底MIN的对数,MN次方的对数,那么这个形式请同学们注意,A是底数真数是一个幂的形式M的N次方,那么它等于N乘以log A为底M的对数,其中指数N可以属于R级当中的任意数值,那么这个表示的公式运算的性质,我们从它形式上看,左边实际上是一个幂的对数.

00:05:51

幂的对数,那么这个幂的对数相应的指数N,我们给它提到前面来,用N去乘以原来底数M的对数,这就是我们今天这节课的一个主要的公式或者说运算的性质.

00:06:06

那么这三个运算的性质,我们用文字的概括可以简述地概打概括一下,级的对数等于对数的和是反映了一二是商的对数等于对数的差,反映了是二,第三个是正数的N次方的对数,等于正数的对数的N倍,那么这里面我们可以理解是N倍去乘以了原来M的对数的底数为A的对数.

00:06:36

好,这是对数的有关的运算性质,那么我们就可以利用这些性质来对一些运算进行求解了.

00:06:47

所以下面我们看第一个问题,用啦个A为底X的对数,log2A为底Y的对数以及login以后log2A为底XY比Z的对数.

00:07:07

好,我们看第一个问题中,在这个里面真数的形式呈现的是比值也就是商的关系,所以我们从刚才的运算性质二中,如果XY去除以Z的对数的话,那么它就应该是XY的对数A为底的XY的,对数减去Z的对数,这样第一步我们通过运算性质二把它变成了XY的对数减Z的对数.

00:07:39

好,那么接下来我们发现XY是一个乘积的形式,所以XY的对数U等于X的对数和Y的对数相加,因此我们就可以把XYBZ的对数调整为X的对数加Y的对数减Z的对数,都是以A为底的.

00:08:02

所以第一个问题就是分别用到了运算性质二和运算性质一来对它进行适当的化解,同样我们再将第二个问题也是把形式稍微做了一个变化,稍微复杂一点,我们首先从这个形势来看,这是个伤的笔直,笔直的问题,相当于一个商,那么我们相当于是A为底M除以N的形式.

00:08:28

好,根据公式log2M除以N应该是M的对数减去N的对数,所以第一步的运算我们把它写作了log2A为底X平方根号Y的对数,减去log2A为底三次根号下Z的对数.

00:08:48

好了,很自然的,我们又发现这个里面是一个乘积的形式,所以我们又通过公式运算的对数运算性质一,把它变成了log2A为底MN相乘等于log二为底M对数加logA为底N的对数.

00:09:06

所以这个形式我们变成log2A为底X方加上log2A为底根号YR再减去log2A为底三次根号下Z,那么下面再来看一下题目要求是用这样三个对数来表示它,那么所以以下这个问题还要进行下去,那么下面我们就想到公式运性质运输对数的运算性质三中提到的A为底M的N次方等于N倍的log2A为底M的对数.

00:09:38

所以我们发现这个地方X方的幂指数二,我们可以提到前面来,所以等于2倍的log2A为底X的对数.

00:09:48

好,那么同样我们发现根号Y我可以改成Y的12次方,所以12提前是12乘以log2AA底Y的对数,那么三次根号下Z就可以表示成Z的13次方,所以把13提到前面来是13乘以log2A为底Z的对数,这样这个问题就分别用log2A为底X对数,log2A为底Y的对数以及log2A为底Z的对数表示出来了,所以第二个问题当中我们运算分别用到了第一步公式运算性质二,第二步公式运算性质E,还有刚才提到了运算性质三,所以我们只要用到,只要熟练掌握刚才提到的这样三个运算的性质,那我们就可以将这个问题解决.

00:10:42

这是表示下列格式,那么对于一些对数的结果是多少进行运算的话,那么怎么进行.

00:10:48

我们来看这样一个例题,我们求下列各式的值,一个是二为底4的7次方乘以2的5次方的对数,第二个是log,那么这里面所谓的log,我们前面做了说明,就是十为底的对数,五次根号下一百的对数.

00:11:09

好,这里面log2为底四的七方乘以二的五方,可以看做MN相乘,所以我们公式当中提到把它表示成二为底七的四的七方的对数,加上二为底2的5次方的对数,这样第一步的运算就是用到了刚才提到的性质一.

00:11:35

好,那么下面我们需要得到这样一个对数的结果是多少,4的7次方可以再改为2的平方的七次方利用指数运算,所以它是2的14次方,那么这里面我们就出现了log2为底2的14次方的对数.

00:11:56

同样log2为底2的5次方的对数,那么这里面两个形式可以想到我刚才讲的这样,运算性质三中提到的问题,所以我把14提到前面来,把五提到前面来,就等于14乘以log2为底二的对数加上五乘以log2为底二的对数,那么log2为底二的对数,它的结果是一.

00:12:20

因此就等于14加五等于19,这就是第一个问题的解释,当然以后我们熟练了,我们也可以首先把里面的指数运算进行调整,最后直接用对数的运算性质得到,这也是可行的.

00:12:36

好,下面看第二个问题.

00:12:38

第二个问题,这个表达式当中,我们首先把原来的根式结构五次根号下一百,把它变成100的15次方,那么利用刚才的运算性质三,我们把15变到前面,作为它的系数去乘以它,所以相当于15乘以log100,那么一百再写成10的平方,那么因此这个指数又可以再一次根据公式提到前面来,等于15×2,那就是25乘以log时,那么log时也是底的对数,它是十为底十的对数,所以它是等于1的,因此得到了25结果.

00:13:23

好,那么我们看到这些数值的计算,其实在计算的相关的方式上面,就是用到我们刚才的有关运算性质,所以对于运算也好,化简也好,只要用到刚才提到的三个运算的性质,那我们就可以将这些相关的结果表示出来,这节课的主要问题是对于对数的运算性质做一个说明,那么在这个运算的性质当中,我们一定要注意三种运算性质的表示以及他的文字的概括,同时还要注意相关的互换问题,指数式和对数式之间的互换是我们前面两节课,所强调的重点,我们利用指对数互换去得到了对数的有关的运算性质.

00:14:15

那么在将一些运算性质得以加以证明以后,再将它进行相关的运算去推广,这就是我们这节课的主要问题.

00:14:25

谢谢大家的收看,再见.<br />

相关视频