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视频 介绍

对数与对数运算(2)

本节课主要介绍了利用对数恒等式求解指数式及对数式

华 丁

教师 合肥市骨干教师、区学科带头人。

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大家好,我是丁华老师,欢迎来到十分钟学校,下面我们和同学们一起学习对数对数与对数运算.

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在上节课当中,我们已经对对数的定义以及对数式和指数之间的一个关系问题做了说明,下面我们首先来回顾一下.

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在指数式与对数式当中都含有AXN这三个量,那么这三个量当中,在两个式子当中各有什么样的异同点,也就是我们要搞清楚,在每个式子当中,它对应分别称谓叫什么,我们看A的问题,A在我们相应的指数式当中,我们把它叫做底数.

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底数幂的底数,那么在对数当中我们也把它叫做底数,所以这两个称为是相同的,都是底数.

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好,我们再看XX在指数形式当中显然是指数,那么在相应的对数式当中,我们给他规定的叫对数,所以这个X的称谓是从指数对数的一个情况不一样了.

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好,X的整个结果等于N那么这个N在我们前面指数式当中,我们把它叫做me,也就是它是一个结果叫做幂.

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那么在代数式当中,我们又把N叫做真数,那么这里面我们给它给出了这样一个图形,我们看一下,也就是说三者之间的一个变形.

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好,当然不管他的称谓是怎么样发生了变化,但是问题的本质仍然是指数式与对数式所具有的一种关系问题,指数式当中如果AX等于N的话,那么我们就可以得到X就是以A为底N的对数.

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那么我们在前面已经知道了,指数的形式可以转化成对数的形式,对数的形式可以转换成指数的形式,他们是不但可以互相的转换,而且还可以利用到这样一个关系来进行有关的计算问题,所以我们再来看这个问题.

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如果要计算,那么这个表达式它的结果等不等于N怎么推导,我们把这个式子叫做对数的恒等式,我们看这个式子,RDA但是指数又是一个log2A为底N的对数的形式,那么也就是我们把指数式和对数式做了一个融合.

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好,我们看这个结果为什么等于N我们不妨假设一下A为底A的N的对数,这种里面我们说AA的或者我们这样看,A的B次方等于N这是一个指数形式,如果我把B改写成了拉个A为底N的对数的话,也就相当于我设它是一个B那么如果它是B,我们知道当拉个A为底N的对数等于B的话就相当于A的B次方等于N那么你把假设成B的话,那么这个式子就等于是A的B次方,那么刚才我们已经推出了A的B次方是等于什么,等于N的.

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好,这样结果就可以推证出来,在表达式当中我们得到A的log2A为底N的对数是等于N的,那么这是一个对数的恒等的关系是.

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那么还有一个我们再看一下,我们以A为底,然后左边的形式是一个对数的形式,真数的表达是一个指数的形式,A的B次方,那么log2A为底A的B次方等于B为什么.

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我们再想一想,同样道理我们想一下,如果我把A的B次方的结果看做N的话,那么镜框相相当于是log2A为底N的对数,那么log2A为底N的对数当然是等于B的.

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所以只要对相应的结果进行一个转换,我们就可以得到,所以以下两个恒等关系就成立了.

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好,特别是对于这个恒等关系,我们一定要注意,如果我要用它的时候一定要注意底是相同的,A为底上面指数形式当中也是以A为底的一个对数.

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那么我们这节课的主要问题,下面来进行有关的计算情况,我们看这个问题当中三个形式都有点复杂,第一个形式和第二个形式当中都是两层的一个对数的表达形式,那么这个问题怎么解决呢,首先从解题的方式上要注意一下,我们不妨可以先把小括号里面,比如说logV底X对数我们看作一个整体,比如说我们把它看作是一个N那么大家想一下二为底N的对数等于0的话,那么N应该等于多少.

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这样话我们就等于把log母为底X对数的结果表示出来了,那也就是我们从解题的顺序上是先把小括号,里面的结果当作一个整体的思想思考的,所以你看我第一个问题的解释是这样的一种方法,log2为底括号,log25为底,X的对数等于0.

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那么这个表达我们现在把整个小括号里面当做是一个整体的话,那么log母为底二对数应该等于什么,我们就应该认为这是个对数式,那么它的形式应该是看作2的0次方,那么2的0次方显然是等于1,这样由两层的变成了一层了,也就相当于原来是一个很麻烦很复杂的形式,两层有括号的一个形式变成了没有了.

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那这样我就直接得到一个log二五为底X的对数等于1,那么这个X等于什么,我们再通过翻译X等于是以五为底一的对数五为底一的结果.

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也就是5的1次方,所以X就等于5,这样第一个问题就解决了,那么第二个问题的做法和第一个问题做法是一样的.

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道理我们看一下,我先把log X看作一个整体,那么log3为底多少的对数等于1,很显然log3为底多少,对数等于1,可以翻译成是这个结果是等于3的1次方,那么3的1次方是等于3的.

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所以此时等于得到了烙个S等于3,那么X是特指的一种常用对数,我们记得它是以十为底的,所以X又可以等于10的3次方等于1000,这样第二个问题就完成了.

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第三个问题,虽然带有一种根式的结构,但是问题的情况我们一次还是用方式刚才的方式来,他现在是根号21作为底数,整个三加根号下3+2倍,根号12作为真数,X是对数.

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那么首先我们做一个变性处理,我们看那应该是根号21的X次方等于这个结果的等于根号下3+2倍根号12,那么3+2倍根号12要开根号的话,我们适当的做一个调整.

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我们把三改成根号2的平方加1的平方,所以实际上是一个完全平方式根号二加1的平方,这样我们就可以把它开出来,等于根号2+11.

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好,那么根号21的X次方等于根号2+11,这个情况好像不太容易算,所以下面根号2+11怎么办.

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我们再用分母有理化的形式调整,括号2+11应该是上下同乘以根号21,那么很容易得到就是根号21,这样话这两边的形式要相等,那你这个X应该是这边对应的移.

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好,这样第一个问题,总体的解决方法就是要把对数的形式转化成指数形式.

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在形势复杂当中,我们要内存先进行再进行外层.

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好,外层先进行再进行内测,那么下面我们看第二个问题,涉及到这样三个式子的计算问题.

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好,第一个式子当中是七的一减log7为底五的对数的一个次方形式,也就是说一减log7为底五的对数是作为七的一个指数形式.

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那么第一个问题我们先想一想是不是可以这样去想,它从运算的要求上看,应该是首先是一个指数的运算,所以我们给它改成是七除以7log7为底五的对数,那么这里面我们就发现了刚才所证明的一个恒等关系,七为底log.

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七为底五的对数的一个结果应该是五,所以第一个问题就是75,也就是我们用到了刚才所说的一个恒等关系,首先从指数运算中给他改写为除法结构同底数幂的除法.

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好,第二个问题一样的,四的12括号log二为底九的对数减log二为底五的对数,那么我们首先把4的12次方调为二,这个时候就等于原式是二的括号log2为底九的对数减log2为底五的对数,那么同样我们把它理解成是指数的一种运算是同底数除法运算,因为同底数除法运算是底不变指相减.

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好,那么下面根据刚才的关系可以看出来,这两个都用到了恒等关系,所以分别等于9和五,也就是95.

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好,这是关于投两个问题,那么第三个问题当中,二和12显然底部相同,所以不能够直接去进行运算的,那么为了让他能够有恒等关系的存在,所以我们做了一个调整.

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我们看我把负的log2为底12的三的对数负号,一1看作是二二分之一,因为12可以看作2的1次方,所以我把它变成12,这样的话这个式子当中底数都是12恒等当中的A两个底是一样的同样的结果,所以很容易得到他就等于3.

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好,我们这节课的主要问题还是对上节课的内容做一个巩固,我们知道了对数式和指数式的一个转换,并且可以利用指对数的一种互换的关系来解决一些计算问题,同时在这个计算当中我们又糅合了指对数一个柔和的结构,那么这里面我们提到了一种恒等式的一个概念.

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这节课的问题就到这里,谢谢大家收看,再见.<br />

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