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视频 介绍

基本初等函数(1)指数函数图像与性质(4)

本节课主要介绍了指数函数的图像及性质应用

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同学们好,欢迎来到惋惜十分钟学校,我是朱赢老师.

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在前几节课我们一起研究了指数函数的图像和性质,并且对于这些图像和性质,它的定语值与图像以及单调性,我们都做了不同的研究,那么这个问题如果把它们综合在一起,又可以给我们一些什么问题,那么我们今天一起来继续研究.

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好,同学们来看,这一个表你是非常熟悉了,那么同学们注意,我为什么要把这个表给同学们一而再的拿出来,那就是指数函数,他的所有的性质都在这个表上,它是我们用指数的图像性质解决问题的关键所在.

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所以希望我们同学一定要重视这个表,那么我们来看一下应用,一A说12的2A加一次方小于12的32A次方,责问你A的取值范围,同学们注意,在这个里边你看到12的2A加一次方小于了12的32A次方,同学们注意,我们这里边同样都是有底12,底是相同的,那么我们无形当中就想去考察一个函数,是Y等于12的A客四次方.

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那么你就知道这样一个函数,它就是一个单调减函数,我们就可以知道,在这个是减函数的情况下,2A加一对应的函数值比32A对应的函数值大,还是小小.

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那么由此2A加一它作为自变量就应该比32,A我们这样就将我们指数函数的自变量给它分离了出来,构成了一个关于A的不等式,我们一解A就大于12,所以我们很容易的就选出了结果.

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但是回过头来我们来看一下,这个里边如果我把A我不是让你去求它的选项,我直接填空,把它写成A改成X这是什么.

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对,这个就是一个指数型的不等式,那么你会解吗.

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对吧,另外同学们注意,我们来看,如果我把这个12我改成二,你又会解吗.

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对吧,那么这些都是我们可以去考虑的.

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好,那么我们再来看另外一个问题,说函数FX等于13的X的平方减去二X,它的定义域和单调区间分别是什么?

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那么在这里边你注意它13的X的平方减去2X定义域,同学们注意,13作为底数,我们这一个X的平方减去2X整体的作为指数,它是可以取一切实数的,但是你会发现X的平方减去二X,我作为一个整体去取,看一下它对我们整个X的影响是什么,你只要有意义就可以了,对吧.

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好,由此我们知道我们在这个里边,X只要使得X的平方减2X又一X取一切实数,那么G定义域是R另外我们看一下单就区间.

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同学们注意单调区间,我们13以为底的函数,这个上面是X的平方减去2X,我们可以先去考察三分之一的U次方,我这里边就设U等于X方减X,那么你会发现我们将这个称为Y函数,这个就是内函数.

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同学们知道Y函数是一个单调递减的函数,那么你的U等于X的平方减去X单调递增区间,就是我们整个函数的单调递减区间,它的单调递减区间就是我们整个的单调递增区间,对吧.

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所以我们最终的问题归结成U等于X方减2X,这一个函数自身的单调区间,那么由此我们只要求出U的单调区间就可以了,很显然一是关键.

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左边,右边,是吧.

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负无穷到一的时候,我们这个函数是一个单调递减的,所以整个的函数就是单调递增,同样的道理在一到正无穷上,它就是一个单调递减,那么在这里边同学们注意一个问题,我们注意这个函数其实上是一个符合的内函数Y函数,它的单调性我们要很清楚,内外函数的单调性对整个函数单调性的影响要非常清楚.

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好,这是我们给出来的一个问题,我们再看一个问题,涉求一下函数Y等于9的X方加上2×3的X方减二的值域,家的主语,那么我们如何求这个函数的值域呢,同学们会发现底这两个函数的底不一样,但是你会发现能不能做成一样.

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对,同学们会发现九的X方.很好,和三的X方的关系是什么,对,是一种平方关系.

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那么我们就可以把它改成这样一种形式,我们假设三的X方等于T,那么马上就可以知道,这个就是T的平方.

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它其实是写成三的X次方括号的平方,然后把它一设着就写成了T方加上2T减二,那么我们在这里边还需要说明,你在这设出来它等于7之后注意,T是三的X方,你就会发现我这一个就是一个指数函数,T就是函数值,气的取值就是它的值域大于零,那么整个的问题将变成是在七大于零的条件下,求这样一个二次函数的值域.

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那么这个问题是我们前面非常熟悉,我们知道T加1的平方减三,B成轴是1,同学们注意.

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1在不在T大于零这个范围之内不再,那么就告诉我们二次函数在零到正无穷上单调底层,由此我们就知道,我们T等于0的时候就取得了函数值是2注意,我们是把零带到里面去,但是注意T不能取零,所以我们的值域当中是2是不能取的号,这里边同学们注意一个问题,我们是通过这种方式什么方式唤鼋,把整个的三的X次方作为一个内函数来去处理了,整个的问题转化成一个二次的,可以吧.

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可以,完全可以.

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完全可以,这种化验法是我们在应用的过程当中常用的.

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好,这是这个问题我们解决了,同学们注意,我想如果你考虑一下我在这把这个号,我如果改成减号,那么这个问题你能解决吗,留给你回去之后自己思考.

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好,同学们,今天我们对于指数函数的图像和性质又做了进一步的研究,同学们会发现,指数函数的性质和图像之间这种紧密的关系,希望你仅仅足够的重视.

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好,同学们,今天这个节课我们就上到这,下节课再见.<br />

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