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视频 介绍

函数的单调性(2)应用(6)

本节课主要介绍了几个常见函数的单调性

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同学们好,欢迎来到皖西十分钟学校,我是朱毅老师。

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咱们在前几节课,研究了函数单调性的问题,并且研究了它的一个重要应用,就是最值,那么今天,我们继续来研究单调性和最值之间的关系。

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好,同学们,你来看,我们知道了最值的问题,G在我们定义域内的所有的自变量,对应的函数值,我们有最大的,但是一定要注意这个要取,有的时候没有,那就不可取,G最大值最小值就有可能不存在,这里边需要同学们注意。

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那么,我们现在来看,我们的单调性和最值之间,又存在着什么一个联系。

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好,你来看,若函数Y等于FX在区间AB上,它的单调递增,则FX的最大值为B最小值为II,注意,FB和FA,那么这里边同学们注意,就可以看到,我们在区间AB上是单调递增的时候,我们晓得自变量对应的函数值就是最小值,大的自变量对应的函数值就是,最大值。

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同样,也有它和它的对应关系,那么在这种情况下,我们就分别可以利用函数的单调性,去确定在某一端去最大值还是最小值。

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那么,这里面请同学们注意,大前提是你要可取,有的时候是K区间,则有的时候就不能取到,所以,希望同学们具体的问题具体来去考虑。

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好,同学们来看这样一个问题。

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说已知函数,FX等于X加上X分之一,我们求证FX在一到正无穷上,是一个增函数。

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那么,这一个问题同学们想一想,是否已经在前面我们研究过,另外在此基础上,我们求一下FX在1到4上的最大值及最小值。

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那么,我们先来解决第一个问题,这个问题我们已经非常熟悉了,那么我们采用的方法,其实上非常的固定,设做差变形,然后去确定它的符号,然后下结论就可以了。

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记我们证明出来了,FX在一到正无穷上是增函数,那么,在此基础上我们就可以看到,既然一到正无穷上,是单调增函数,我们要想求的是1到4这个区间上的,你就可以知道,1到4上我们的函数,也是单调递增函数。

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那么递增递增函数,我们的最小值,就处取在我们的益处,最大值就取代四处,由此我们的最值就分别求了出来。

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G最大值为174,最小值为R,那么,这样我们就解决了这两个小问题。

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同学们注意,如果以后我不给你第一个问题,只给第二个,你能想到先去证明在一定区间内,特别是我们给出来的1到4这个区间内,我们的函数作为它的单调性吗?对吧。

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好,这个需要我们去思考一下,另外同学们注意,我给出来的这个函数,叫FX等于X分之一,是吧,FX等于X分之1+1加X,那么同学们注意,我们将这个函数称为是双钩函数,这个问题,双勾函数我们后面还会接触到。

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好,这是这样一个问题,那么鉴于这一个是问题,它的重要性,我们继续来看一个问题。

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说已知函数FX等于负的X加21,X属于0到2,这个区间,求一下函数FX的最大值和最小值。

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那么在这里边同学们注意,我们是求它的在这个区间内的最大值和最小值,你受刚才那个问题的启发,你可以先考虑什么?先考虑我们这个函数,在0到2上的单调性。

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对吧,你把它有的时候,把这个范围扩大也行也可以,但是我们有的时候,就从它出发就可以了。

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首先,我们在0到2上去判断单调性的时候,还是我们的基本方法。

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注意看这,X1X20取区间上的任意值,然后给出一大一小,然后,怎么样去比较函数值的大小。

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注意这个地方做差的时候,化简的过程要准确,而且要画得彻底,彻底既能够用若干个因式来进行表示。

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然后,我们确定每一个因式的正负号,最后我们可以确认,FX1小于FX2计,在这个区间上,这个函数是单调递增函数,因此,我们的函数在0到2上零处,就取得最小值,二处就取得最大值,那么,你就可以知道我们在单调性的影响下,两个端点的函数值,我们具体的给求了出来,而且求出来了最值,那么我问题解决了。

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好,那么,现在同学们想一下,这个题其实给刚才那个问题,其实上属于一类问题。

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我们进一步的思考,如果我们不是求最值,就求在这个区间上的值,域又给他有什么样的区别呢。

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进一步的,刚才那个问题也可以求值域,对吧。

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同学们可以去思考,那么,这里边我们想说的问题是,当牵扯到求最值问题的时候,我们能把我们区间上的单调性判断出来,则问题将得到有效的解决。

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同学们一定要关注这样一种方法。

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好,同学们,今天我们所研究的问题,在原来研究单调性的基础上,最大值的基础上,把二者结合在一起,<br />146<br />00:07:41,460 --> 00:07:47,890,<br />你看到了单调性对于我们最值得影响那么,其实上它还会影响到我们函数的值域,这个问题我们后边继续研究。

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好,同学们,今天我们的课就上到这,欢迎收看其他的课程。

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好,同学们再见。<br />

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