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视频 介绍

函数的单调性(1)概念(1)

本节课主要介绍了概念的准确性

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你们好,欢迎来到十分钟课堂。

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那么,我们在前面研究了函数的基本概念,那么,研究函数的基本概念的过程当中,我们研究了它的基本的定义与值域以及解析式,值域等等一系列的问题。

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那么,我们今天继续来研究函数的问题。

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那么,今天我们重点来研究函数的一个重要性质,那么我们对于函数的性质,我们重点要研究两个性质,那就是单调性与奇偶性。

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今天我们先来看单调性,那么,如果对于一般的设函数FX的定义域为I,对于第定义域内,某一个区间D上的任意两个自变量,X1和X2,当X1小于X2时,都有FX1小于FX2。

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那么就说函数FX,在区间D上是增函数。

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这里边给出来的是增函数的概念,那么,我们在这个里边看到这是增函数,那么,同样我们也可以给出来减函数的概念,那么,也就是对于定义域I内的某一个区间D上的任意两个自变量,X1和X2当X1小于X2的时候,都有FX一大于FX,那么我们就说函数FX,在区间D上是减函数。

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那么,同学们来考虑,我们对于增函数和减函数,那么,你看有什么样的不同点和相同点。

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首先,同学们注意一定都要在定域内,而且是定义域内的某一个区间,另外在这个区间上,我们是任意取了两个自变量,注意是任意取的,两个自变量,而且,这两个自变量满足什么条件,X1小于X2季一大一小。

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那么,不同的是我们一个是FX1小于FX2,一个是FX一大于FX2,小的自变量对应的函数值小,小的自变量对应的函数值大,则它们这就是增函数和减函数的,在要求上的相同和不同。

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那么对于这样一个问题,同学们一定要注意,首先,两个函数的这种定义,都是建立在定义域内的某一个区间上,任意取的两个含自变量,另外去比较它们的函数值,那么,这三条是都不可少的,这一点希望同学们注意。

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好,针对于这样一个定义,我们来看一下这样一个问题。

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说在这样一个给出来的函数的图像中,我们的函数,让你是根据图像说出来函数的单调区间,并且,以及在每一个区间上它是增函数还是减函数。

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那么,首先我们来考虑,是我们的函数的单调性要建立在定域内,那么,你会发现我们这一个函数,它的定义域就是父母倒,然后在此基础上我们找找什么,我们某一个区间,能够使得取出来的自变量。

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大的对应的函数值如果大,那么它就是增函数,小的如果对应的函数值大,那就是减函数。

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好,现在你来看,我们从图上,可以看到我们的函数从负开始到2,你就会发现在这样一个过程当中,函数当X越来越大的时候,函数值反而怎么样,越来越小。

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同样的从2到一这样一个过程中,我们的函数,是由小到达极大的自变量,对应你函数值也大,同样一三,是单调递减,3到5是单调递增。

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那么,在这里边我们就可以从图当中很容易看到,我们的函数,它被分成了四段,而且每一段都具有自身的单调性,那么,我们就可以说函数在区间5到2负5到2与1到3,两个区间上函数是单调减函数,而在2到1与3到5上是增函数。

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但是我这里边想强调一点,我们这里边去说,函数Y等于FX在区间5到2,与1到3上是七,减函数,还有在这两个区间上是增函数的时候,你会发现,在这个里边我用了一个逗号隔开,这里边请同学们注意,以后在这儿是不能用并集的,不能用并集。

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你可以用逗号隔开,也可以写和货都行,但是不能用并集。

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那么,这个问题就告诉我们,我们可以通过函数的图像,去观察我们的自变量,在某一个区间内,对应的函数值是大的对应的大,还是大的对应的小。

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那么,我们就可以判断函数的单调性,这里面希望同学们注意。

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好,那么,下面我们来看这样一个问题。

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让我们去判断,FX等于X减21X减三它的单调性,并给予证明。

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那么同学们注意,我们现在想证明,判断这个函数的单调性,那么首先一条,我们要知道这个函数的定义域很明确,我们的这是一个分式的函数,而且你会发现分母是X减一,我们就很容易的知道,我们这个函数X是不能等于1。

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那么,此时计它的定义域,我们拿了出来,地域当中的X等于1,把我们的实数集分成两段,所以,我们就要分成两段,去证明这样一个函数的单调性。

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那么,我们现在来看,我们的定义域,分成的是负无穷到一,与一到正无穷。

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那么,在负无穷到一和一到正无穷上,我们去判断它的单调性,判断单调性,那么,下面我们就来看如何去证明它的单调性。

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那么,我们在这里边由定义可以知道,我先去证明一到正无穷上函数的单调性,那么,在这里面同学们注意一个问题,你也可以从负无穷到一这个范围,先去证明也行。

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那么,我们先从它入手,当X1和X2小于一,但是同学们一定要注意是,X1X二小于一,这里边的X1和X2,一定要给它一个大小关系,然后我们去找我们的函数值,那么我们在比较函数值的时候,同常用的方法有两种,一个是做差的方法,一个是做商的方法。

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但是,在这里边同学们注意,由于,我们这个是分是我们选择做差的方法,那么,在这里边你会发现我们的FX1减去FX,等于那么直接往里带进来,你会发现等于2减去X1分之减11,减去二减去X12,一定要注意,这个是带入我们的自变量,这是带入我们的自变量,这是不可少的。

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然后,我们把我们的式子进行整理,既把它进行化解。

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那么,这里边就有X211减去X111等于X,1减去X2比上X21乘以X11,那么,我们做完了这样一个差以后,同学们注意,我们是又得是X1和X2,对应的这两个函数值的大小,那么我们就要比较这个差,他与零的大小,那么,我们把这样一个差已经化成了三个因式,相乘或者是相除的形式,那么,我们就要去看一下,我们的分子和分母上的各个因子的正负号。

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那么,我们下面就判断它的正负号,那么,你可以看到X1和X2都是小于一的,那么我们就知道X21小于零,X11小于零,且X1减X2小于零。

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所以,整个的我们的FX1减去FX2就小于零。

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G我们有FX1小于FX2,同学们在这里面就可以知道,我们给出来的X1是小于X2的,现在我们找到了晓得自变量对应的,函数值比大的自变量对应的函数值,它小G我们在负无穷到一这个区间上,函数就是一个单调递增函数。

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那么同样的道理,我们可以去证明,FX在一到正无穷上为单调增函数,单调增函数,那么这一个问题,同学们注意,我们刚才,通过这样一个过程可以知道,我们却证明这样一个结果的时候,首先,是在要给出来的区间上我任意取的两个自变量,然后我们是做差,然后,进行插画成若干个因式相乘相除的形式,然后,进一步的去判断我们的差的正负号系,确定单调性。

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那么,这也就告诉我们,当给出一个任意的函数以后,我们可以采用这种方式,去判断一个函数的单调性。

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机,我们判断函数单调性的一般性的方法,首先,是社员一定要注意射出来的是区间上的,任意两个自变量,一定要取得式子,任意两个自变量,好,这个是必不可少的。

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不能取两个特殊的,不能取两个特殊的。

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另外,第二步就是做差做出来的插座,插的目的就是比较这两个自变量,它们所对应的函数值,那么,我们在这里面要求两个自变量怎么样,要一大一小,然后我们将差进行适当的变形,你可以采用配方,可以充分可以因式分解的方式,然后我们去判断他的符号,判断符号之后,根据定义,注意一定是根据了我们单调性的定义,来去下结论,我们的函数是在这样一个区间上,是单调增还是单了解,那么,这就是我们判断一个函数单调性的一般性的方法。

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请同学们一定要注意。

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好,那么,今天我们这里边通过这样一个例题告诉我们,给出一个具体的函数它判断单调性的方法。

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好同学们,今天我们所研究的问题,就是函数单调性的定义,那么,并且通过定义,我们总结出来一般性的函数,它的在一定区间上函数单调性的判断方式,那么这个问题咱们下节课还接着研究。

00:14:07

好,同学们,欢迎来到十分钟学校,欢迎同学们观看其他的课程。

00:14:16

好,同学们,再见。<br />

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